In Mathe das Intervallverfahren anwenden - so geht's

Intervalle in der Mathematik - was ist das?

• Der Begriff "Intervall" kommt nicht nur in den Musikwissenschaften, sondern auch in der Mathematik vor. Dort handelt es sich um eine genau begrenzte, zusammenhängende Teilmenge aus einer anderen Menge, meist einem Zahlenbereich.
• Intervalle werden mit eckigen Klammern angegeben. So bedeutet die Angabe [0,1] die Menge aller Zahlen zwischen Null und Eins. Zu diesem Intervall gehören beispielsweise auch die Zahlen 0,5 sowie 0,99. Auch die beiden Grenzen 0 und 1 gehören zu diesem Intervall hinzu - es wird als abgeschlossen bezeichnet. Offene Intervalle, bei denen die Randzahlen nicht dazugehören, werden mit runden Klammern gekennzeichnet.
• Beim Intervallverfahren geht es darum, eine Zahl (beispielsweise ein periodischer Bruch oder auch eine Wurzel) durch stetiges Verkleinern eines Intervalls so genau wie gewünscht zu finden.
• Der periodische Bruch 1/3 liegt zum Beispiel im Intervall [0,3 , 0,4]. Eine genauere Eingrenzung jedoch liefern die Intervalle [0,33 , 0,34], [0,333 , 0,334] und so weiter.

Wurzelziehen mit dem Intervallverfahren - so geht's

Als Schüler wird Ihnen das Intervallverfahren wahrscheinlich zum ersten Mal begegnen, wenn Sie die Wurzel aus einer vorgegebenen Zahl ohne Taschenrechner, also "zu Fuß" nur durch Rechnen bestimmen sollen. Als Beispiel für das Verfahren soll die Wurzel aus 7 mit einer Genauigkeit von zwei Stellen hinter dem Komma berechnet werden:

1. Etwas Grundwissen in Quadratzahlen vorausgesetzt gilt: 2 < √7 < 3, das heißt, die Wurzel aus 7 im Intervall [2 , 3]. Diesen Sachverhalt können Sie durch Quadrieren (als Probe sozusagen) prüfen, denn es gilt: 4 < 7 < 9.
2. Nun schränken Sie das gefundene Intervall links und rechts etwas ein, um ein genaueres Ergebnis für den Wurzelwert zu erhalten. Beispielsweise könnte 2,5 < √7 < 2,8 gelten. Sie machen durch Quadrieren wieder die Probe und erhalten 6,25 < 7 < 7,84 - Sie haben also richtig geschätzt und √7 liegt im kleineren Intervall [2,5 , 2,8].
3. Im nächsten Schritt des Intervallverfahrens bietet sich 2,6 < √7 < 2,7 als Probe an. Auch hier wurde das Intervall auf beiden Seiten verkleinert. Sollte Ihre vorherige Probe nahelegen, dass das Ergebnis in der Nähe der linken oder rechten Schranke liegt, können Sie das Intervall auch einseitig verkleinern, um dem Ergebnis näherzukommen.
4. Die Probe ergibt 6,76 < 7 < 7,29. Nun wissen Sie, dass √7 zwischen 2,6 und 2,7 liegt. Die erste Nachkommastelle ist also eine 6.
5. Da die Genauigkeit zwei Nachkommastellen betragen soll, müssen Sie nun als weitere Einschränkung ein Intervall zwischen 2,6 und 2,7 wählen. Sie könnten zum Beispiel mit 2,65 < √7 < 2,67 starten. Die Probe ergibt hier (leider!) 7,02 < 7 < 7,13, was so nicht stimmt.
6. Die linke Intervallgrenze 2,65 wurde also zu groß gewählt. Eine geschickte Wahl ist in diesem Moment 2,64 < √7 < 2,65, denn die vorherige Probe zeigte, dass √7 nur wenig kleiner als 2,65 ist.
7. Die Probe durch Quadrieren bestätigt Ihre Überlegung, denn es gilt: 6,97 < 7 < 7,02. √7 liegt also im Intervall [2,64 , 2,65] und Sie haben √7 = 2,64 auf zwei Nachkommastellen genau gefunden.
8. Prüfen Sie das Ergebnis mit dem Taschenrechner! Sie werden erstaunt sein, wie genau das Ergebnis ist.

Übrigens: Das Intervallverfahren lässt sich fortsetzen, um die Wurzel noch genauer, also mit noch mehr Nachkommastellen, zu berechnen. Allerdings werden Sie einige Mühe haben, derartige Zahlen für die Probe schriftlich zu quadrieren, denn genau genommen ist auch hier kein Taschenrechner erlaubt. Zum Glück gibt es in der Mathematik weitere Möglichkeiten, Wurzeln "zu Fuß" zu ziehen.