Kugeloberfläche - Herleitung der Berechnung

Kugeloberfläche in Abhängigkeit vom Volumen einer Kugel

1. Stellen Sie sich vor, dass Sie eine Kugel aus lauter Pyramiden zusammensetzen. Sie haben also eine große Anzahl n von Pyramiden des Volumens V_Pyramide= 1/3 G h. Dabei entspricht h dem Radius der Kugel. Die Pyramiden treffen sich mit der Spitze S alle im Mittelpunkt M der Kugel.
2. Die Summe aller Grundflächen G entspricht dabei der Oberfläche der Kugel, wenn Sie die Kugel in unendlich viele Pyramiden zerlegen.  Es gelten also folgende Zusammenhänge: V_Kugel = 4/3 pi r³  und V_Kugel =n V_Pyramide und V_Pyramide= (1/3 G r) und O_Kugel=n G.
3. Aus dem Zusammenhang V_Kugel = n V_Pyramide ergibt sich n (1/3 G r) = 4/3 pi r³. Stellen Sie die Formel nach G um, in dem Sie mit 3 multiplizieren und durch n und r dividieren. Sie erhalten G = 4 pi r³/(n r) = 4 pi r²/n
4. Setzen Sie das in die Formel O_Kugel = n G ein. Sie erhalten O_Kugel= 4 pi r². Jetzt haben Sie eine Herleitung der Formel für die Kugeloberfläche.

Herleitung der Volumenformel

Sofern die Formel für das Volumen einer Kugel nicht bekannt ist, müssen Sie auch diese herleiten, damit die Berechnung der Kugeloberfläche möglich ist.

1. Laut dem Satz des Cavalieri besitzen zwei Körper dasselbe Volumen, wenn deren Schnittflächen, die in Ebenen, welche parallel zu einer Grundebene ausgeführt worden sind, in den entsprechenden Abständen zu dieser, den gleichen Flächeninhalt haben. Wenn Sie also in einem beliebigen Abstand x parallel zur Grundfläche durch die Körper schneiden und die Schnittflächen der Körper für gleiche x-Werte den gleichen Flächeninhalt haben, dann sind auch die Volumina gleich.
2. Um diesen Satz anzuwenden, betrachten Sie das Volumen einer Halbkugel. Der zugehörige Vergleichskörper muss also in jeder Schnittebene den gleichen Flächeninhalt haben wie die Kreise, die sich bei den Schnitten durch die Halbkugel ergeben.
3. Nehmen Sie als Vergleichskörper einen Zylinder mit dem Radius r und der Höhe r, aus dem Sie einen Kegel mit dem Radius r und einer Höhe r ausfräsen.
4. Betrachten Sie sich die Zeichnung. Für den linken Kreis ergibt sich eine Fläche von A_Kreis= pi (r²-x²) = pi r² - pi x². Für den rechten Kreisring ergibt sich A_Kreisring = pi r² - pi x². Da die Fläche des kleinen Kreises nur von der Fläche des großen abgezogen werden muss.
5. Also ist das Volumen einer Halbkugel gleich dem Volumen des Zylinders minus dem Volumen des Kegels. V_Halbkugel = V_zylinder-V_Kegel= pi r² h - 1/3 pi r² h = pi r³ - 1/3 pi r³ =2/3 pi r³.
6. Demnach ist das Volumen einer Kugel V_Kugel = 4/3 pi r³.

Jetzt ist die Herleitung der Formel für die Kugeloberfläche komplett.