Abstandsquadratgesetz - Formel herleiten

Grundsätzliches zum Abstandsquadratgesetz

Um das Abstandsquadratgesetz und die zugehörige Formel zu verstehen, machen Sie folgendes Gedankenexperiment:

1. Betrachten Sie sich die Ausbreitung einer energetischen Strahlung von einer punktförmigen Quelle. Setzen Sie die Intensität der ausgesendeten Energie mit C an.
2. Legen Sie nun in Gedanken Kugelhüllen um diesen Ausgangspunkt. Diese haben alle die Strahlungsquelle als den Mittelpunkt. Der Radius wird immer größer. Sie erste Hülle hat also den Abstand r₁, die Zweite den Abstand r₂ und so weiter.
3. Um die einfallende Energie vergleichen zu können, müssen Sie die Energiemenge je Flächeneinheit betrachten, denn es macht einen Unterschied von die Energie C auf eine Flächeneinheit oder auch 100, 1.000 etc. Einheiten verteilt wird. Betrachten Sie also, wie groß die Fläche ist, auf welche die ausgesandte Energie verteilt wird.
4. Im Abstand r₁ haben Sie eine Oberfläche von 4*pi*r₁². Das heißt, die Intensität I₁ beträgt C/(4*pi*r₁²). Im Abstand r₂ beträgt die die Intensität also I₂= C/(4*pi*r₂²).

Aus diesen Zusammenhängen können Sie die Formeln herleiten.

Herleitung der Formel

1. Errechnen von  I₁/I₂: [C/(4*pi*r₁²)]:[C/(4*pi*r₂²)] = [C/(4*pi*r₁²)]*[(4*pi*r₂²)/C]=(C*4*pi*r₂²)/(C*4*pi*r₁²) = r₂²/r₁². Sie sehen durch Kürzen fallen die Konstanten weg, es bleibt das umgekehrte Verhältnis der Radien zum Quadrat.
2. Diese Formel können Sie zu I₁= I₂  r₂²/r₁²  oder I₂= I₁  r₁²/r₂² bzw. I₂= I₁  (r₁/r₂)²  weiter entwickeln, eine Form in der das Abstandsquadratgesetz üblicherweise geschrieben wird.
3. Setzen Sie nun r₂= 2r₁. Sie erhalten I₂= I₁  (r₁/2r₁)² = I₁ * (1/2)². Das Abstandsquadratgesetz besagt, dass sich die Intensität einer Strahlung bei Verdopplung des Abstandes viertelt.
4. Besser ist es, die allgemeine Formel zu nehmen. r₂= a r₁. Sie erhalten I₂= I₁  (r₁/a r₁)² = I₁ * (1/a)².