Den Durchmesser einer Kugel verdoppeln

Abhängigkeit verschiedener Größen einer Kugel voneinander

• Betrachten Sie sich die Zusammenhänge zwischen Durchmesser, Radius, Oberfläche und Volumen einer Kugel, um später eine Aussage darüber zu treffen, wie diese Größen sich ändern, wenn Sie den Durchmesser verdoppeln.
• Der Durchmesser ist die Länge der Strecke, die auf der Kugeloberfläche beginnt, durch den Mittelpunkt geht und auf der anderen Seite wieder auf der Oberfläche endet. Der Radius ist die Länge der Strecke, die vom Mittelpunkt zur Oberfläche geht. Da der Mittelpunkt auch in der Mitte des Durchmessers liegt, besteht eindeutig der Zusammenhang, das 2 r = d ist, oder r = d/2.
• Der Umfang einer Kugel beträgt U = 2 pi r => U = 2 pi d/2 = pi d.
• Die Oberfläche einer Kugel wird nach der Formel A_Oberfläche = 4 pi r² berechnet. Daraus folgt: A_Oberfläche = 4 pi (d/2)² = 4 pi (d²/4) = pi d^2.
• Das Volumen berechnen Sie nach der Formel V_Kugel= (4/3) pi r³ => V_Kugel= (4/3) pi (d/2)³ = (4/3) pi (d³/8) = (1/6) pi d³.

Nun ist es ganz einfach, im nächsten Schritt zu ermitteln, was geschieht, wenn Sie den Durchmesser der Kugel verdoppeln.

Folgen, wenn Sie den Durchmesser verdoppeln

• Für den Umfang ergibt sich folgende Überlegung: U_2d = pi (2d) = 2 pi d. U_1d = pi d. U_2d/U_1d = 2 pi d/(pi d) = 2. Wenn Sie den Durchmesser verdoppeln, verdoppelt sich auch der Umfang.
• Für die Oberfläche gilt: A_{Oberfläche 2d}= pi (2d)² = 4 pi d² =>  A_{Oberfläche 2d}/A_{Oberfläche 1d}= 4 pi d²/(pi d²) = 4. Die Oberfläche einer Kugel vervierfacht sich, wenn Sie den Durchmesser verdoppeln. Anmerkung: 2²=4. Die Oberfläche hängt von d² linear ab.
• Für das Volumen gilt folglich: V_{Kugel 2d} = (1/6) pi (2d)³ = (8/6) pi d³ = (4/3) pi d³ => V_Kugel2d/ V_Kugel1d = (4/3) pi d³/[(1/6) pi d³] = 4/3 : 1/6 = 4/3 * 6/1 = 8. Bei einer Verdopplung des Durchmessers verachtfacht sich das Volumen. Das Volumen ist von d³ linear abhängig. 2³ = 8.