n-Eck - so berechnen Sie den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks

Wesentliche Zusammenhänge beim regelmäßigen n-Eck

1. Stellen Sie sich einen Kreis vor, in den ein beliebiges n-Eck so gezeichnet wurde, dass der Kreis ein Umkreis der Figur ist (siehe Skizze).
2. Verbinden Sie nun jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt des Umkreises. Sie erhalten n-Dreiecke.
3. Jedes der Dreiecke ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln r (Radius des Kreises) und der Basis a (Länge einer Seite des n-Ecks).
4. Der Winkel an der Spitze des Dreiecks ist der n-te Teil von 360°, denn der Vollkreis wird durch die Schenkel in n-Teile geteilt. Der Winkel ist also Gamma = 360°/n.
5. Da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist und die beiden Basiswinkel gleich groß sind, gilt für diese Alpha = (180° - 360°/n)/2 = 90°-180°/n.
6. Die Höhe teilt ein gleichschenkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten h und a/2 und der Hypotenuse r.  h ist Ankathete und a/2 Gegenkathete zu Gamma/2=180°/n. Der Tangens Gamma/2 ist das Verhältnis von Gegenkathete a/2 zu Ankathete h. Also gilt: tan (180°/n) = (a/2)/h => h = a/(2 tan(180°/n))

Mit diesen Größen können Sie nun den Flächeninhalt eines Dreiecks und also auch des n-Ecks bestimmen.

So berechnen Sie den Flächeninhalt

Die Fläche des n-Ecks ist das n-fache der Fläche eines Dreiecks. Es gilt A_n-Eck= n A_Dreieck.

1. Die Fläche des Dreiecks ist A_Dreieck= (1/2) a h = (1/2)*a*a/(2tan(180°/n)) = a²/(4tan(180°/n)).
2. Damit ist der Flächeninhalt eines n-Ecks A_n-Eck = n a²/4 tan (180°/n).

Angenommen n ist 4, das ^n_eck ist also ein Quadrat, dann gilt A_Quadrat = 4 a²/ (4 tan (180/4) = a²/ tan 45° = a², denn der Tangens von 45° ist 1. An diesem Beispiel sehen Sie, dass die Formel auch bei einfachen Figuren angewendet werden kann.