Strahlensätze - leicht erklärt von der Matheexpertin

Strahlensätze - das sollten Sie vorab wissen

• Die Strahlensätze sind eigentlich ein relativ einfaches Thema aus der Mathematik. Allerdings verwirrt viele das Wirrwarr an Geraden und Parallelen, das manche Zeichnung zu dem Thema aufweist. Und die Schulbuchformulierung tut ein Übriges.
• Beide Strahlensätze machen eine Aussage über die Längenverhältnisse von Strecken in speziellen geometrischen Figuren. Insofern handelt es sich immer um ein geometrisches Thema (die Strecken zu finden) und ein rechnerisches Thema (mit den Strahlensätzen Strecken zu berechnen).
• Bei beiden Strahlensätzen haben Sie es immer mit zwei Geraden zu tun, die sich schneiden sowie (im einfachsten Fall) mit zwei Parallelen, die "quer" zu diesen beiden Geraden liegen und sie daher schneiden.
• Oft wird die Aufgabe erleichtert, indem von den beiden Geraden nur die beiden Strahlen vom Schnittpunkt S aus betrachtet werden.

Der erste Strahlensatz - einfach erklärt

• Die Schulbuchformulierung des ersten Strahlensatzes lautet meist, dass sich die Längen der Abschnitte auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl verhalten.
• Aber was bedeutet das? Betrachtet man die Figur einmal vom Schnittpunkt S der beiden Geraden (oder Strahlen) aus, so ergeben sich einfach erklärt vier Strecken, wenn diese von den beiden Parallelen getroffen werden: Zwei davon liegen auf dem ersten Strahl, die beiden anderen auf dem zweiten Strahl.
• Wenn nun die beiden ersten Strecken 10 cm und 15 cm betragen, so ist das Verhältnis 10 : 15 = 2 : 3 (das ist so ähnlich wie die Seitenlängen bei Fotos). Die beiden anderen Streckenlängen haben dann das gleiche Verhältnis. Sie könnten beispielsweise 20 cm und 30 cm, aber auch 6 cm und 9 cm sein.
• Kennt man eine der vier Strecken nicht, so lässt sie sich durch einfache Verhältnisbildung immer berechnen. 

Der zweite Strahlensatz - leicht gemacht

• Die Grundfigur gilt ebenfalls für den zweiten Strahlensatz. Allerdings ist dieser etwas komplizierter, denn es kommen Strecken auf den Parallelen dazu.
• Die Schulbuchformulierung lautet in etwa so, dass sich die Längen der Parallelenabschnitte wie die Längen der entsprechenden Strahlenabschnitte verhalten.
• Wie ist das zu verstehen? Die Parallelenabschnitte sind zunächst einmal die beiden Strecken, die die Strahlen bzw. Geraden aus den beiden Parallelen herausgeschnitten haben. Hier gibt es einen kürzeren, innen liegenden Abschnitt sowie einen längeren, der weiter vom Schnittpunkt entfernt liegt.
• Zu diesen beiden Abschnitten gehören entsprechende Längen auf einem (!) der beiden Strahlen. Welchen Sie wählen ist zunächst egal bzw. hängt von der Aufgabe ab.
• Zum kürzeren Abschnitt gehört die Strecke, die vom Schnittpunkt S bis zu dieser Parallele führt. Zum längeren Abschnitt - und jetzt müssen Sie aufpassen - gehört die Strecke, die wiederum vom Schnittpunkt S bis zu dieser weiter außen liegenden Parallelen gehört. Gerade hier lauert Fehlergefahr: Viele beachten nicht, dass die längere Strecke wieder von S aus gemeint ist.
• Kurz und einprägsam könnte man den 2. Strahlensatz so formulieren: kurze Parallele zu langer Parallele ist wie kurzer Strahl zu langem Strahl.

Teilung einer Strecke - eine Anwendung der Strahlensätze

• Neben zahlreichen rechnerischen Anwendungen, in denen Verhältnisse von Strecken eine Rolle spielen, gibt es noch eine zeichnerische Anwendung, nämlich eine gegebene Strecke in n gleiche Teile zu teilen - ohne Messen versteht sich!
• Das Foto zu diesem Artikel erklärt die Situation: Sie haben eine Strecke von Punkt A nach Punkt B gegeben und sollen diese in 7 Teile (n = 7) teilen, ohne jedoch die Länge mit dem Lineal auszumessen und dann zu rechnen.
• Zunächst zeichnen Sie als zweiten Strahl eine Hilfslinie - im Beispiel der Einfachheit halber horizontal gewählt. Die Hilfslinie sollte möglichst länger sein, dies erhöht die Genauigkeit der Teilung.
• Nun tragen Sie auf diesem Hilfsstrahl 7 gleichlange Strecken ab, beispielsweise mit dem Zirkel.
• Nun verbinden Sie den Endpunkt B der gegebenen Strecke mit dem Endpunkt des letzten Abtrages (in der Zeichnung ganz rechts).
• Ziehen Sie nun mit dem Geodreieck zu dieser Strecke Parallelen durch die Markierungen auf der Hilfslinie. Diese Parallelen teilen die gegebenen Strecke dann in sieben gleiche Teile.
• Haben Sie den ersten Strahlensatz erkannt? So wie sich die einzelnen Abschnitte auf der Hilfslinie gleichen und es sieben Stück sind, so gleichen sich auch die entsprechenden Teilstrecken auf der Strecke durch A und B (und es sind natürlich auch sieben). Hier sind die Verhältnisse auf beiden Strahlen immer 1 : 1 : 1 etc.