Ähnlichkeitsfaktor k - so berechnen Sie ihn

Was versteht man unter dem Ähnlichkeitsfaktor k?

Zunächst müssen Sie wissen, was man in der Geometrie unter Ähnlichkeit versteht:

• Zwei Figuren sind sich ähnlich, wenn die eine Figur durch zentrische Stauchung oder Streckung und/oder durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung aus der anderen Figur hervorgehen kann.
• Ähnliche Figuren müssen nicht kongruent, also deckungsgleich sein. Kongruente Figuren sind aber immer ähnlich.
• Bei ähnlichen Figuren stimmen die Seitenverhältnisse und die Winkel überein. Kreise sind immer einander ähnlich, da ein Kreis durch eine zentrische Streckung oder Stauchung immer in einen anderen Kreis übergehen kann.
• Der Ähnlichkeitsfaktor k ist nichts anderes als das Maß der Stauchung oder Streckung. Wenn der Ähnlichkeitsfaktor k gleich 1 ist, sind die Figuren kongruent. In diesem Fall wurden sie nicht gestaucht oder gestreckt. Ist der Ähnlichkeitsfaktor k größer als 1, erfolgte eine Streckung, ist er kleiner als 1, wurde die Figur gestaucht.

So berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor

• Wenn Ihnen von einem beliebigen Vieleck mindestens eine Seitenlänge und die entsprechende Seitenlänge des ähnlichen Vieleckes gegeben sind, berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor k, indem Sie die Seitenlänge der ähnlichen Figur durch die Seitenlänge der Ausgangsfigur teilen. Durch Multiplikation mit dem Ähnlichkeitsfaktor k können Sie dann aus allen anderen Seitenlängen der Ausgangsfigur die Seitenlängen der ähnlichen Figur berechnen.
• Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a₁=6 cm, b₁=3 cm und c₁=4 cm. Die Seitenlänge a₂ des ähnlichen Rechteckes beträgt 12 cm. Den Ähnlichkeitsfaktor berechnen Sie, indem Sie a₂ durch a₁ teilen, also 12 cm durch 6 cm. Der Ähnlichkeitsfaktor k beträgt in diesem Fall 2. Durch Multiplikation mit 2 können Sie die anderen beiden Seitenlängen des ähnlichen Dreieckes ermitteln. Die Seite b₂ ist demzufolge 6 cm und die Seite c₂ ist 8 cm lang.
• Sie können den Ähnlichkeitsfaktor k auch ermitteln, wenn Ihnen nicht die Seitenlängen, sondern die Flächeninhalte A₁ und A₂ der beiden Figuren gegeben sind. Dabei kann es sich um beliebige Vielecke handeln. Wenn Sie den Ähnlichkeitsfaktor k in die Formeln zur Flächeninhaltsberechnung für Rechtecke und Dreiecke integrieren, ergibt sich in beiden Fällen die Formel A₂=k²•A₁. Diese Formel gilt auch für alle anderen Vielecke, da diese sich in Rechtecke und Dreiecke zerlegen lassen.
• Demzufolge können Sie den Ähnlichkeitsfaktor k aus den beiden Flächeninhalten berechnen, indem Sie A₂ durch A₁ teilen und aus diesem Quotienten die Wurzel ziehen.
• Beispiel: Gegeben sind der Flächeninhalt A₁ der Ausgangsfigur mit 3 cm² und der Flächeninhalt A₂ der ähnlichen Figur mit 27 cm². Der Ähnlichkeitsfaktor k beträgt in diesem Fall 3.
• Bei Kreisen berechnen Sie den Ähnlichkeitsfaktor mithilfe des Radius. Es gilt: k=r₂/r₁. Das gilt auch für Kreissektoren mit einem gleichen Mittelpunktswinkel.