Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks? - Anleitung

Wie man den Umfang berechnet

Denken Sie kurz darüber nach, wie man einen Umfang generell berechnet, bevor es an den des Dreiecks geht:

• Unter Umfang versteht man die Summe der Länge aller Linien, die eine Fläche begrenzen. Bildlich gesehen können Sie sich eine Schnur vorstellen, mit der Sie diese Fläche umspannen, ähnlich einem Zaun um ein Grundstück. Diese Länge ist dann der Umfang einer Fläche.
• Sie müssen also nichts weiter machen als die Länge aller Seiten einer Fläche zu addieren. Je nach Aufgabenstellung muss diese Länge dieser Strecken erst berechnet werden.
• Da ein Dreieck aus 3 Seitenlinien (Strecken)  besteht, die üblicherweise als a, b und c bezeichnet werden, heißt das für den Umfang U = a+b+c. Beachten Sie dabei, dass es spezielle Dreiecke gibt, bei denen die Strecken anders bezeichnet werden.

Umfang eines speziellen Dreiecks bestimmen

• In einem gleichschenkligen Dreieck wird die Grundseite c üblicherweise mit g bezeichnet und die beiden Schenkel werden auch als s bezeichnet. Es kommt aber auch vor, dass es in Aufgaben heißt, dass die Schenkel a heißen. In dem Fall wird das Dreieck von den Strecken a, die zweimal vorkommen, und der Strecke g begrenzt. Sie müssen also für den Umfang des Dreiecks 2-mal die Länge von a (bzw. s) rechnen und zu dem Ergebnis die Länge der Strecke g (bzw. c) addieren. U = 2a + c = 2a + g = 2s + g, je nach dem wie die Strecken in der Aufgabe benannt worden sind.
• Geht es um ein gleichseitiges Dreieck, dann sind alle drei Strecken, die das Dreieck begrenzen, gleich lang. Sie rechnen in dem Fall, wenn Sie den Umfang des Dreiecks berechnen wollen, 3-mal diese Strecke.
• Wie man den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet, ist ebenfalls einfach. Sie müssen nur die Länge der drei Seiten addieren. Aber hier wird oft im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras c²=a²+b² darauf verzichtet alle 3 Seitenlängen in Aufgaben zu nennen. Sie müssen also zunächst die Länge der fehlenden Seite nach der genannten Formel ausrechnen, bevor Sie die Summe der Seitenlängen bilden.

Lesen Sie die Aufgabenstellung genau durch und fertigen Sie eine Skizze an, damit Sie besser erkennen, welche Seiten doppelt vorkommen oder wie Sie den Satz des Pythagoras anwenden müssen.

Wie die Seitenlänge eines Dreiecks berechnet wird

• Der Umfang ist immer die Summe der 3 Seiten, aber oft sind Ihnen die Längen der Seiten nicht gegeben. Entsprechend der Kongruenzsätze können Ihnen auch Winkel und nur ein Teil der Seiten gegeben sein. Sie müssen entweder das Dreieck konstruieren und die Seitenlängen ausmessen oder, sofern Sie schon Trigonometrie hatten, ausrechnen. Hier eine Zusammenstellung der Lösungswege:
• Nach dem Kongruenzsatz WSW: Ihnen sind 2 Winkel bekannt und die Länge der Seite, die dazwischen liegt. In dem Fall berechnen Sie den fehlenden Winkel über die Winkelsumme 180° = alpha + beta+ gamma, und dann über den Sinussatz a/sin alpha = .b/sin beta = c/sin gamma die Seitenlängen aus. Beispiel:  Gegeben ist alpha = 30 °, c= 5 cm und beta = 45 °. Gamma ist dann 105 ° b= (c sin beta)/sin gamma = 5 sin 45°/sin 105° = 3,6 cm. Dann rechnen Sie a = (c sin alpha)/sind gamma = 2,6 cm . U = 5 + 3,6 + 2,6 = 11,2 cm. So wird der Umfang des Dreiecks n in dem Fall berechnet.
• SSW-Satz: Wie Sie den Umfang in dem Fall berechnen, ist sicher auch klar. Angenommen Sie haben c = 5 cm, a = 2,6 cm und Gamma = 105 ° gegeben, dann rechnen Se nach dem Sinussatz erst den Winkel beta und dann die Länge der fehlenden Strecke b aus. Sie bekommen b = 3,6 und U = 11,2 cm heraus.
• SWS-Satz: Wenn Sie zwei Seiten und den dazwischen liegenden Winkel kennen, müssen Sie die fehlende Seite nach dem Kosinussatz ausrechnen, als beim Beispiel a = 2,6 cm, c = 5 cm und beta = 45 ° müssen Sie den Satz b² = a² + c² - 2 a c cos beta ausrechnen.

Wie man den Umfang eines Dreiecks berechnet, ist ganz einfach, aber es kann schwierig sein, die Länge der Seiten zu berechnen, die Sie für den Umfang brauchen.