Sinussatz im nicht-rechtwinkligen Dreieck - die Formel am Beispiel erklärt

Der Sinussatz - dieses Wissen brauchen Sie

• Die einfachen Winkelfunktionen sin, cos und tan gelten nur im rechtwinkligen Dreieck, denn sie beziehen sich auf Hypotenuse und Katheten dieses Dreiecks.
• Trotzdem ist man bei der Seiten- und Winkelberechnung im nicht-rechtwinkligen Dreieck nicht verloren, denn dort gelten Sinussatz und (der etwas schwieriger zu verstehende) Cosinussatz.
• Beim Sinussatz stehen Seiten und der Sinus der gegenüberliegenden (!) Winkel immer im gleichen Verhältnis.
• In Formeln lautet der Satz a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Der Winkel γ ist hier beliebig und nicht 90°.
• Zur Berechnung von Seiten und/oder Winkel werden jeweils zwei passende Teile dieser fortlaufenden Proportionen ausgewählt. In diesem Fall "zerfällt" der Sinussatz also in drei Gleichungen.

Andere Formulierungen des Satzes sind übrigens a/b = sin α/sin β (und je vertauscht mit dem weiteren Winkel und der dritten Seite).

Beispielrechnung im nicht-rechtwinkligen Dreieck

Als Beispiel soll hier ein allgemeines (also nicht-rechtwinkliges) Dreieck ausgewählt werden, bei dem a = 3 cm, b = 5 cm und der Winkel β  = 50° gegeben ist (diese Konstellation entspricht übrigens dem Kongruenzsatz sws). Gesucht sind die dritte Seite c sowie die beiden Winkel α und γ.

1. Sie berechnen zunächst den Winkel α, denn dieser liegt der gegebenen Seite a gegenüber. Sie stellen auf: a/sin α = b/sin β, setzen die gegebenen Größen ein: 3/sin α = 5/sin 50°. Diese Proportion multiplizieren Sie nun "überkreuz" und erhalten: 3 _* sin 50° = 5 _* sin α und damit sin α = 0,46 und mit INV SIN (sin^-1): α = 27,4°.
2. Den dritten Winkel γ berechnen Sie leicht, denn es gilt γ = 180° - 27,4° - 50° = 102,6° (Winkelsumme im Dreieck).
3. Die dritte noch fehlende Seite c berechnen Sie nun ebenfalls mit dem Sinussatz. Sie wählen (beispielsweise): b/sin β = c/sin γ und setzen ein: 5/sin 50° = c/sin 102,6° und erhalten hieraus c = 6,37 cm (dem größten Winkel liegt auch hier die größte Seite gegenüber).

Übrigens: Aufgaben, bei denen im nicht-rechtwinkligen Dreieck drei Seiten (sss) oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (sws) gegeben sind, lassen sich nicht mit dem Sinussatz lösen (jedoch mit dem Cosinussatz, siehe Link oben).