Auch wenn Winkelfunktionen und die Betrachtung eines Dreiecks zum Pflichtprogramm in der Schulmathematik gehört, ist es doch gar nicht so einfach, zu erahnen, wie man die Innenwinkel eines Dreiecks berechnen kann. Wenn man jedoch weiß, dass in einem Dreieck die Summe aller Winkel immer 180 Grad beträgt und die richigen Formeln kennt, sie richtig auflösen kann und dann mit dem Taschenrechner ausrechnen kann, ist es schon gar nicht mehr so schwer, wie anfangs befürchtet.
Was Sie über Dreiecke wissen müssen
- Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
- Benennen Sie die Punkte des Dreiecks mit A, B, und C gegen den Uhrzeigersinn.
- Die Seite a liegt dem Punkt A gegenüber, b gegenüber von B und c gegenüber von C.
- Die Winkel in den Punkten A, B, und C heißen α, β, γ (alpha, beta, gamma).
Die Innenwinkel eines Dreiecks berechnen Sie so
- Berechnen Sie am besten zuerst den größten Winkel, der immer der längsten Seite gegenüberliegt. In diesem Beispiel soll das die Seite a sein.
- Da Sie anfangs nur die Seitenlängen des Dreiecks kennen (welche Sie z B. mit einem einfachen Lineal ausmessen können), benötigen Sie den Cosinussatz, auf dessen einer Seite zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stehen, auf der anderen Seite die dem Winkel gegenüberliegende Seite, z. B. a² = b² + c² - 2bc * cos α.
- Lösen Sie diese Gleichung zum Winkel hin auf: cos α = (b² + c² - a²) / 2bc. Daraus ergibt sich α = arccos ((b² + c² - a²) / 2bc). Wenn Sie die Maße von a, b und c haben, können Sie die alles in den Taschenrechner eingeben.
- Die anderen Winkel können Sie natürlich genauso ausrechnen. Da Sie jetzt aber einen Winkel kennen, können Sie den 2. Innenwinkel auch leichter ausrechnen, nämlich mithilfe des Sinussatzes. Der Besagt, daß das Verhältnis von Länge einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels immer gleich ist: also a / sin α = b / sin β = c / sin γ.
- also können Sie β berechnen: a / sin α = b / sin β. Daraus ergibt sich sin β = sin α * b / a, also β = arc sin (α * b / a). Geben Sie wieder alles in den Rechner ein.
- Sie kennen jetzt zwei Winkel, den letzten können Sie ganz einfach mit dem Wissen berechnen, dass alle drei Winkel zusammen 180 Grad betragen müssen, indem sie von 180 Grad die ersten beiden Winkel abziehen.
Es scheint zwar zunächst etwas kompliziert auszusehen, ist aber, wenn Sie es erst einmal begriffen haben, eigentlich relativ einfach, die Innenwinkel eines Dreiecks zu berechnen.
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