Warum ist i hoch i reell?

Komplexe und reelle Zahlen

Der Zahlenbereich der reellen Zahlen dürfte Ihnen wahrscheinlich noch aus der Schule bekannt sein. Ausgehend davon konstruieren Sie einen noch größeren Zahlenbereich, die Menge der komplexen Zahlen, bei der es sich ebenfalls um einen Körper handelt.

• Dabei wird die imaginäre Einheit i definiert, für die i² = -1 gilt und damit quadratische Gleichungen vom Typ x² = -1 lösbar werden.
• Eine komplexe Zahl zεC lässt sich durch z = a+ib darstellen, wobei a, bεR.
• Der Körper C ist ein zweidimensionaler R-Vektorraum. Die komplexen Zahlen können Sie in einem x-y-Diagramm veranschaulichen, wobei die x-Achse alle reellen Zahlen enthält und die y-Achse alle Zahlen, die ausschließlich einen Imaginärteil besitzen.
• Die meisten komplexen Zahlen besitzen jedoch Real- und Imaginärteil. Diese besitzen dann die senkrechte Koordinate b und die waagrechte Koordinate a. Rechnen Sie in Polarkoordinaten, dann können Sie den Winkel φ zwischen x-Achse und Verbindungsstrecke vom Ursprung zum Punkt (a, b) abtragen.
• Mit komplexen Zahlen können Sie zahlreiche Berechnungen durchführen, so können Sie beispielsweise auch i hoch i berechnen.

i hoch i berechnen

• Dass Sie beim Rechnen mit komplexen Zahlen auch Ergebnisse erhalten können, die rein reell sind, ist nicht ungewöhnlich. Wie Sie bei der Konstruktion der komplexen wahrscheinlich gemerkt haben, handelt es sich beim Körper C um einen Oberkörper von R, d. h. die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen und daher ebenfalls in C enthalten.
• Um i hoch i zu berechnen, müssen Sie zunächst e^iz als Taylorreihe entwickeln. Es gilt e^iz = 1+iz+(iz)²/2!+(iz)³/3!+(iz)⁴/4!+... Nun gilt i² = -1, i⁴ = 1, i⁶ = -1..., d. h. Sie können die Reihe weiter vereinfachen, sodass nur noch die ungeraden Exponenten von i erhalten bleiben. Klammern Sie im nächsten Schritt i aus und setzen Sie die Reihen für den Sinus und den Kosinus ein, so ergibt sich die Formel e^iz = cos(z)+isin(z).
• Nun setzen z=π/2 ein, dann erhalten Sie e^iπ/2 = cos(π/2)+isin(π/2) = i. Im nächsten Schritt exponieren Sie beide Seiten mit i, so ergibt sich iⁱ = (e^iπ/2)ⁱ = e^-π/2, wenn Sie die Potenzgesetze beachten.
• Das Ergbebnis ist also eine reelle Zahl. Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen tritt dieser Fall ebenfalls hin und wieder auf. Im Prinzip müssen Sie dabei nur die dritte binomische Formel im Hinterkopf haben. Haben Sie zwei komplexe Zahlen mit z₁ = a+ib und z₂ = c+id, dann gilt für z₁*z₂ = (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(ad+bc). Gilt nun ad = -bc, dann fällt der imaginäre Anteil weg und das Ergebnis wird rein reell.

Sie sehen, für das Rechnen mit komplexen Zahlen müssen Sie einige Kleinigkeiten beachten.