Grundmenge q - Erklärung

Grundmenge der rationalen Zahlen - einige Eigenschaften

Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle Brüche. Beispielsweise sind 1/2 oder 3/4 Elemente der Grundmenge Q. Interessant ist, dass die Menge der ganzen Zahlen eine Teilmenge von Q ist, können doch alle ganzen Zahlen als Brüche dargestellt werden (z. B. 1/1, 2/2 etc.).

• Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen übrigens unendlich viele weitere rationale Zahlen. Denn, wenn a und b aus Q sind, dann ist das arithmetische Mittel c = (a+b)/2 ebenfalls eine rationale Zahl. Nun können Sie wiederum das arithmetische Mittel zwischen a und c bilden.
• Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen. Das bedeutet, zwischen zwei reellen Zahlen können Sie immer eine rationale Zahl ausfindig machen.

So zeigen Sie anschaulich, dass Q und N die gleiche Mächtigkeit besitzen

• Da die Menge der natürlichen Zahlen N eine Teilmenge von Z (Menge der ganzen Zahlen) ist, ist N also auch eine Teilmenge der Grundmenge Q. Dennoch besitzen beide Menge überraschenderweise die gleiche Mächtigkeit!
• Dies können Sie beispielsweise mit dem ersten Cantorschen Diagonalargument zeigen. Um dies zu sehen, schreiben Sie die Brüche in eine Matrix. In der ersten Zeile erhöhen Sie den Zähler jeweils um 1 und lassen den Nenner unverändert (x₁₁ = 1/1, x₁₂ = 2/1, x₁₃ = 3/1 usw.). Die erste Spalte behandeln Sie gerade umgekehrt (x₁₁ = 1/1, x₂₁ = 1/2, x₃₁ = 1/3 usw.). Füllen Sie nun die anderen Elemente der Matrix nach dieser Logik auf (z. B. x₂₄ = 4/2, x₃₆ = 6/3 usw).
• Nun können Sie die Brüche durchnummerieren. Starten Sie bei 1/1 und gehen Sie eine Stelle nach rechts. Gehen Sie diagonal nach links unten, bis Sie den linken Tabellenrand erreichen. Von dort gehen Sie eine Position nach unten und danach diagonal nach rechts oben, bis Sie den oberen Tabellenrand wieder erreicht haben. Wiederholen Sie diese Schritte immer wieder und Sie sehen, dass Sie alle rationalen Zahlen erreichen (für negative Brüche verwenden Sie das gleiche Schema).

Sie sehen, die Grundmenge der rationalen Zahlen besitzt viele interessante Eigenschaften. Auch die Tatsache, dass jede Zahl aus Q eine periodische Dezimalbruchentwicklung besitzt, liegt nahe.