Unterschied Durchschnitt und Mittelwert - so erklären Sie ihn im Mathematikunterricht

Das ist der Durchschnitt

Die Begriffe Durchschnitt und Mittelwert werden oft umgangssprachlich als Synonyme verwendet, das ist aber nicht korrekt, denn es gibt Unterschiede:

• Der einfache Durchschnitt ist einfach ein Wert, der sich aus der Summe der einzelnen Messwerte ergibt. Wenn Sie zum Beispiel das Durchschnittalter in einem Pflegeheim ausrechnen, in dem 2 30-Jährige gepflegt werden 10 90-Jährige und 3 100-Jährige, würden Sie einfach 30+90+100 rechnen und diesen Wert durch 3 teilen. Sie würden also ein Durchschnittsalter 73 Jahren erhalten. Dieser Art den Durchschnitt zu bestimmen wird auch oft verwendet, wenn Durchschnittsgehälter angegeben werden. Der Chef verdient 100.000 € die Arbeiter 20.000 €, also ist das Durchschnittsgehalt im Betrieb 60.000 €/Jahr.
• Der gewogene Durschnitt entspricht dem arithmetischen Mittelwert, denn hier wird die Summe aller Werte gebildet durch die Summe aller Bewohner bzw. Mitarbeiter. Dann lautet die Rechnung (2 x 30 + 10 x 90 + 3 x 100) /(2 + 10 + 3) = 84. Und im Betrieb macht es dann einen Unterschied ob 10 Arbeiter (Durchschnitt  27.272 €) oder 1.000 Arbeiter 20.000 € (Durchschnitt 20.080 €) bekommen. Auch diese Durchschnittswerte sind kaum aussagefähig, da schließlich keiner der Bewohner 73 bzw. 84 Jahre alt ist und niemand in dem Betrieb das Durchschnittsgehalt bezieht.
• Außerdem wird der Begriff Durchschnitt auch häufig in nicht berechenbaren Zusammenhängen verwendet. Denken Sie an durchschnittliches Aussehen, durchschnittliches Benehmen oder ein durchschnittliches Bildungsniveau. Hier wird ausgedrückt, dass sich derjenige nicht von der Masse abhebt, was immer das genau heißen soll.

Wird im Alltag vom Durchschnittseinkommen gesprochen, dann dies also der einfache Mittelwert, der gewogene Durchschnitt, aber auch der häufigste Wert sein. Das sollten Sie n dem Zusammenhang erwähnen. Ein durchschnittliches Gehalt von 60.000 € kann wie gezeigt auch bedeuten, dass einer 20.000 € und einer 100.000 € verdient, es kann damit gemeint sein, dass die meisten dieses Gehalt beziehen. Das sollten Sie bei der Begriffserklärung ansprechen.

Der Mittelwert unterliegt genauen Rechenvorschriften

Anders als beim Durchschnitt wird beim Mittelwert genau gesagt, nach welchen Kriterien dieser errechnet wird. Es gibt nicht einen Mittelwert, sondern verschiedene Mittelwerte und korrekterweise müssen sie immer erwähnen, um welchen es geht. Bekannte Mittelwerte sind:

• Der Modus, bei dem der häufigste Wert ermittelt wird. Im Fall vom Pflegeheim wären das 90 Jahre, denn die meisten Bewohner haben dieses Alter.
• Der arithmetische Mittelwert ist der Wert, den Sie auch beim gewichteten Mittelwert bekommen. Also Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der Werte. Sie kommen also auf den Mittelwert 84.
• Ein weiterer bekannter Mittelwert ist der geometrische Mittelwert, der aus dem Produkt aller Werte gebildet wird, aus dem die n-te Wurzel gezogen wird, wobei n die Anzahl der Werte ist. Im Fall des Pflegeheimes würde das ein mittleres Alter von 79 Jahren ergeben.
• Ebenfalls eine gebräuchliche Form des Mittelwertes ist der harmonische Mittelwert, bei dem die Anzahl durch die Summe der Kehrwerte dividiert wird. Das harmonische Mittel des Alters der Pflegeheimbewohner ist 72 Jahre.
• Im Zusammenhang mit der Aussagefähigkeit des Mittelwertes ist auch von Bedeutung, dass Sie Ausreißer suchen. Nehmen Sie das Beispiel vom Pflegeheim. Sie haben die Werte 30, 90 und 100. Der Wert in der Mitte ist 90 und wird auch Median genannt. Die errechneten Mittelwerte liegen alle unter dem Median, was dafür spricht, dass der Wert unterhalb des Medians ein Ausreißer ist. Noch krasser wäre es, wenn in dem Heim noch ein Säugling von einem Jahr gepflegt wird.

Kurz gesagt merken Sie sich: Der Unterschied zwischen Durchschnitt und Mittelwert ist, dass beim Durchschnitt selten erwähnt wird, wie dieser errechnet wird, während zum Mittelwert immer die Berechnungsgrundlage genannt wird. Umgangssprachlich wird oft der Durchschnitt mit dem arithmetischen Mittel gleichgesetzt. Die Ungenauigkeit des Begriffs Durchschnitt wird auch oft bewusst ausgenutzt. Denken Sie indem Zusammenhang, wie oft in politischen Diskussionen von Durchschnitt die Rede ist, ohne dass erwähnt wird, was damit genau gemeint ist.