Satz des Pythagoras beim Trapez

Der Satz des Pythagoras

• Der Satz des Pythagoras findet Anwendung in Dreiecken, die über einen rechten Winkel verfügen. Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich der Größe des Hypotenusenquadrates, kurz: a² + b² = c².
• Die Katheten liegen direkt am rechtwinkligen Winkel an, die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.
• Natürlich kann man diese Formel beliebig auflösen, beispielsweise nach a: a = Wurzel (c² - b²).
• Haben Sie ein gleichschenkliges Dreieck, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden, um die Höhe h zu berechnen.

Definition eines Trapezes

• Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen. Diese beiden Parallelen müssen nicht gleich lang sein, nur die Parallelität ist nötig.
• Ein Trapez kann also verschiedene Formen annehmen, ein besonderer Fall eines Trapezes ist beispielsweise das Quadrat. Auch hier stehen sich zwei Seiten parallel gegenüber, sind zudem auch noch gleich lang und bilden jeweils einen rechten Winkel.
• Auch die Raute stellt ein solches geometrisches Element dar. Die beiden Parallelen werden in der Regel als Grundseiten des Trapezes bezeichnet.

Der Satz des Pythagoras findet im gleichschenkligen Trapez Anwendung

Sind die Grundseiten a und c sowie die beiden Schenkel b gegeben, kann man mithilfe von Pythagoras die Höhe h über der Grundseite a berechnen. Diese benötigt man wiederum, um den Flächeninhalt des Trapezes berechnen zu können.

1. Da das Trapez gleichschenklig ist, können Sie die beiden Schenkel b zu einem gleichschenkligen Dreieck zusammenfügen, die Grundseite dieses Dreiecks entspricht dann der Differenz der beiden Grundseiten des Trapezes, also g = c - a.
2. Halbieren Sie nun das gleichschenklige Dreieck über der Grundseite (c - a), um ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten b, h und 1/2 * (c - a) zu erhalten.
3. Setzten Sie nun den Satz des Pythagoras ein, lautet die Gleichung: b² = h² + (c - a)².
4. Lösen Sie diese Gleichung nach h auf, erhalten Sie: h² = b² - (c - a)². Da Ihnen die Werte für a, b und c bekannt sind, können Sie so h leicht berechnen.
5. Diesen Wert setzen Sie nun noch in die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes ein, um genau diesen zu erhalten. Die Formel hierfür lautet: A = 1/2 * (a + c) * h.

Sie können dies an beliebigen gleichschenkligen Trapezen ausprobieren, mit dem Satz des Pythagoras kommen Sie schnell zum Ziel, wenn Sie zuvor umgeformt haben.