Das angewinkelte Bein in der Mathematik - Erklärung

Hinweis: In diesem Artikel soll das sog. "angewinkelte Bein" nicht als Eselsbrücke erklärt werden, sich die Ziffer 4 darstellerisch zu merken. Dabei stemmen Sie den Fuß in Kniehöhe ab, sodass der Oberschenkel des Standbeins sowie Oberschenkel und Unterschenkel des angewinkelten Beins ein Dreieck bilden.

Das angewinkelte Bein als Mathematikaufgabe

• Diese Aufgabe aus der Mathematik startet zunächst mit einem Selbstversuch, der etwas sportlichen Einsatz benötigt. Sie müssen sich nämlich auf Ihr Standbein stellen und das andere Bein anwinkeln. Dabei stemmen Sie den Fuß in Kniehöhe ab, sodass der Oberschenkel des Standbeins sowie Oberschenkel und Unterschenkel des angewinkelten Beins ein Dreieck bilden.
• Greifen Sie zum Metermaß und messen Sie die Seitenlängen des Dreiecks aus. Die geometrische Aufgabe ist es nun, die Winkel in diesem Beindreieck zu berechnen. Im Allgemeinen wird es sich natürlich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, jedoch um ein gleichschenkliges, da die Längen der beiden Oberschenkel gleich sein dürften.

Beindreieck - ein durchgerechnetes Beispiel

Für die Berechnung der Winkel beim angewinkelten Bein bieten sich in der Mathematik zwei grundsätzliche Möglichkeiten an:

• Sie können in dem gleichschenkligen Beindreieck entweder mit dem Pythagoras die Höhe ausrechnen und dann die Winkel mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus bzw. Tangens berechnen.
• Sie können den für allgemeine Dreiecke geltenden Cosinussatz anwenden und zunächst einen Winkel im Beindreieck berechnen. Die weiteren Winkel ergeben sich - einfacher - aus der Winkelsumme im Dreieck
• Im Folgenden sei für ein Dreieck Grundseite (Unterschenkel mit Fußhöhe) c = 45 cm und für die beiden gleichlangen Seiten (Oberschenkel) a = b = 38 cm die Methode mit dem Cosinussatz angewendet.
• Es gilt c² = a² + b² - 2ab cos (γ). Dabei sei γ der Winkel zwischen den beiden Seiten a und b, also an der Spitze des Dreiecks. Formen Sie um: cos (y) = [a² + b² - c²]/2ab. Setzen Sie die gegebenen Größen ein und Sie erhalten cos (γ) = [2 _* 38²- 45²]/2 _* 38² = [2888 - 2025]/2888 = 0,3. Zu diesem Cosinuswert berechnen Sie mit dem Taschenrechner (INV COS) den Winkel γ = 72,54°.
• Die beiden Basiswinkel errechnen Sie nun aus der Winkelsumme, die im Dreieck 180° beträgt zu je 53,73 °.