Relationen in der Mathematik einfach erklärt

Relationen - die Bedeutung in der Mathematik

Der Begriff stammt aus dem Lateinischen. Dort bedeutet "relatio" "das Zurückbringen" oder auch das "aufeinander Bezogene".

• Bei Relationen wird Elementen einer Menge M1 (Zahlen, Gegenstände oder was auch immer) Elemente einer anderen Menge M2 zugeordnet. Dies kann in Pfeilform oder durch eine (explizite) Zuordnungsvorschrift erfolgen.
• Dabei ist es völlig unerheblich, ob auch wirklich alle Elemente von M1 zugeordnet werden oder einige "leer ausgehen". Auch müssen nicht alle Elemente der zweiten Menge M2 erreicht werden, auch hier kann es Übrigbleiber geben. Bei Relationen ist es zudem erlaubt, dass einem Element der ersten Menge mehrere Elemente der zweiten Menge zugeordnet werden können. Auch dürfen Sie auf Seiten der zweiten Menge durchaus mehrere Treffer verzeichnen.
• Die Mengen können endlich viele Elemente enthalten, aber auch unendlich viele wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen oder auch die reellen Zahlen.

Relationen spiegeln in der Mathematik also Beziehungen zwischen bestimmten Dingen oder Sachverhalten wider, die in Form von Mengen angegeben werden.

Relationen - an Beispielen veranschaulicht

Im täglichen Leben und natürlich auch in der Mathematik, gibt es unzählige Beispiele für Relationen:

• Nehmen Sie als Menge M1 die Mitglieder einer Schulklasse und als Menge M2 Größen in Meter. Die Zuordnung zwischen diesen beiden Mengen könnte "hat die Körpergröße" sein. In diesem Fall kann es zum Beispiel mehrere Schüler mit der Größe 1,75 m geben, jedoch wird kein (!) Schüler sowohl 1,55 m als auch 1,61 m haben. Und einige Körpergrößen werden leer ausgehen - so groß ist einfach niemand in dieser Gruppe.
• Nehmen Sie als Menge M1 die Handtücher in einem Schwimmbad. M2 sei die Menge der Farben. Die Relation kann hier lauten "hat als Farbe". In diesem Fall kann es bei bunt gemusterten Handtüchern vorkommen, dass Sie von einem Handtuch mehrere Zuordnungen in die zweite Menge M2 haben.
• Ein Beispiel aus dem Bereich der Zahlen. Hier seien sowohl M1 als auch M2 die natürlichen Zahlen. Die Relation kann beispielsweise sein "hat als Teiler". Dem Element "6" aus M1 müssen Sie die Elemente 1, 2, 3 und 6 aus M2 zuordnen. Hier gibt es natürlich unendlich viele Verbindungen.
• In vielen Fällen können Sie für die Beziehung sogar eine Zuordnungsvorschrift anfertigen. Denken Sie an Mengen und deren Preise, beispielsweise Benzinmenge (in Litern) und Preis (in Euro).

Relation und Funktion - ein wichtiger Unterschied

In der Mathematik lernen Sie unzählige Funktionen kennen, bei denen Elemente aus einer Zahlenmenge (meist mit x bezeichnet) Elemente aus einer (anderen) Zahlenmenge (meist mit y bezeichnet) zugeordnet werden. Dies geschieht über eine mathematische Vorschrift y = f(x). Die Funktion y = 2x - 5 ist ein Beispiel.

• Alle Funktionen sind der Definition entsprechend natürlich Relationen. Allerdings gibt es für Funktionen eine einschränkende (wichtige!) Bedingung. Sie dürfen jedem x aus der ersten Zahlenmenge nur ein (!) y aus der zweiten Zahlenmenge zuordnen. Funktionen sind eindeutig.
• Als Beispiel soll die quadratische Funktion y = x² (Normalparabel) dienen. Hier wird jeder möglichen reellen Zahl x deren Quadrat als y zugeordnet. Diese Funktion ist eindeutig. Die Umkehrung, nämlich y = √x, ist jedoch keine Funktion (aber eine Relation). Zu jeder positiven Zahl x gibt es nämlich zwei mögliche Lösungen, eine positive und eine negative Wurzel. Die Zuordnungsvorschrift ist nicht eindeutig, es sei denn, Sie schränken ein y = + √x. Hier gehen übrigens alle negativen x-Wert leer aus, was jedoch erlaubt ist.