Die Antiproportionale Funktion

Von der Zuordnung zur Funktion

Antiproportionale Zuordnungen sind Ihnen wahrscheinlich aus dem Mathematikunterricht bekannt. Wenn eine Größe A antiproportional zu einer Größe B ist, dann können Sie diese Zuordnung salopp mit "je mehr - desto weniger" charakterisieren. Nimmt die eine Größe ab, dann nimmt die andere zu (und umgekehrt). Bekannte Beispiele sind Arbeitsprojekte, bei denen mehr eingesetzte Arbeiter oder Laster zu einer Verringerung der Arbeitszeit führen.

• Jedoch Vorsicht! Eine derartige "Je-mehr-desto-weniger"-Beziehung muss nicht unbedingt eine antiproportionale sein. Denken Sie an gefahrene Kilometer und den Tankinhalt Ihres Autos: Die Abnahme geschieht linear und irgendwann ist dieser leer.
• Sie müssen "antiproportional" also genauer fassen: Ändert sich die Größe B um das n-fache, dann verändert sich die Größe A auf den n-ten Teil. Das Produkt aus beiden Größen bleibt stets gleich.

Zuordnungen können Funktionen sein, wenn sie gewisse Regeln der Eindeutigkeit erfüllen. Dies ist bei der antiproportionalen Zuordnung der Fall. Fassen Sie die Größen A und B als Definitions- und Wertebereich einer Funktion auf, so erhalten Sie aus der Zuordnung eine antiproportionale Funktion.

Die antiproportionale Funktion - Graph und Eigenschaften

Der allgemeine Funktionsterm der antiproportionalen Funktion lautet y = c/x wobei c eine beliebige, vom Beispiel abhängige Konstante aus den reellen Zahlen ist. c ist übrigens das Produkt aus der Zuordnung.

• Sie sehen gleich, dass sich der y-Wert dieser Funktion verringert, wenn man x größer werden lässt (und umgekehrt). Mehr noch: Verdoppelt man den x-Wert, halbiert sich der y-Wert. Die Funktionsgleichungen spiegeln also die Eigenschaften der zu Grunde liegenden Zuordnungen wider.
• Die Graphen der antiproportionalen Funktion werden als Hyperbeln bezeichnet, die sich in die Quadranten des Achsenkreuzes einschmiegen. Jede Funktion der Form y = c/x besteht aus zwei Hyperbelästen, einen für positive x, einen für negative x, die nicht miteinander verbunden sind.
• Auffällig ist, dass die Funktion mit größer werdendem x-Wert abfällt. Tatsächlich wird die x-Achse nicht erreicht. In der Mathematik bezeichnet man die x-Achse in diesem Fall als Asymptote; die Funktion kommt der Achse beliebig nahe, erreicht sie aber nicht. Konkret bedeutet dies, dass die y-Werte zwar beliebig klein werden bei wachsendem x, den Wert Null jedoch nicht annehmen. Eine antiproportionale Funktion hat daher keine Nullstelle. Diesen Sachverhalt können Sie leicht mit der Bedingung y = 0 nachrechnen.
• Das Verhalten der Funktion beim Wert x = 0 ist ebenfalls interessant. Die Steigung der Funktion nimmt stark zu, wenn Sie sich im Bereich sehr kleiner x-Werte bewegen, aber auch die y-Achse wird nicht erreicht. Die Funktion schneidet die y-Achse bei keinem Wert, sie hat keinen Achsenabschnitt. Mathematisch liegt dort ein so genannter Pol vor. Die Funktion strebt vereinfacht gesagt über alle Grenzen. Auch diesen Sachverhalt können Sie überprüfen, indem Sie für x immer kleinere Werte (beispielsweise 1/2, 1/3, 1/4 etc.) einsetzen. "Schuld" ist die Tatsache, dass Sie in der Mathematik nicht durch Null (als x-Wert) teilen dürfen.

Die "Verhaltensauffälligkeiten" der antiproportionalen Funktion erscheinen vor dem Beispielhintergrund "Arbeiter - Zeit" als sinnvoll. Auch wenn Sie noch so viele Arbeiter einsetzen, können Sie die Zeit für das Projekt nicht auf Null herunterdrücken. Und wenn keiner arbeitet (x = 0), dann braucht das Projekt eine unendliche Zeit.

Je schneller, desto kleiner - eine anschauliche Anwendung

Für antiproportionale Funktionen gibt es zahllose Beispiele. Betrachten Sie als Übung folgende Situation: Sie sollen mit ihrem (rasanten) Sportwagen eine Strecke von 500 Kilometern zurücklegen. Je schneller Sie fahren, also je größer ihre Geschwindigkeit ist, desto weniger Zeit werden Sie für diese Strecke benötigen:

1. Die Geschwindigkeit sei der Definitionsbereich der gesuchten Funktion und werde mit x bezeichnet.
2. Die für die Strecke benötigte Zeit ist der dazugehörige Wertebereich der Funktion und werde mit y bezeichnet.
3. Das Produkt aus Geschwindigkeit (in Kilometer pro Stunde) und der Zeit (in Stunden) ist die vorgegebene Wegstrecke, also 500 Kilometer. Es gilt x * y = 500.
4. Aus diesem Produkt erhalten Sie die Funktionsgleichung y = 500/x. Tuckern Sie beispielsweise mit moderaten x = 50 km/h dahin, so wird die Fahrt y = 10 Stunden dauern. Bei einem rasanten Tempo von x = 200 km/h benötigen Sie y = 2,5 Stunden. Zeichnen Sie mehrere Werte für diese Funktion in ein Achsenkreuz ein, erhalten Sie den für das Beispiel sinnvolle rechten Ast der Hyperbel. Der linke macht keinen Sinn, da es im Beispiel keine negativen Geschwindigkeiten gibt.
5. Um in y = 0 Stunden ans Ziel zu kommen, müssten Sie eine unendliche Geschwindigkeit haben (x-Achse als Asymptote). Beträgt Ihre Geschwindigkeit dagegen x = 0, dann dauert Ihre Fahrt unendlich lange an (weil Sie gar nicht wegkommen). Dies entspricht dem Pol der Funktion.

Neues Wissen auf alten Fundamenten! Tatsächlich fällt es leicht, aus der bekannten antiproportionalen Zuordnung zweier Größen eine Funktion mit interessanten Eigenschaften zu gewinnen: Hyperbeln, die nicht nur zwei Funktionsäste, sondern auch eine Asymptote (die x-Achse) sowie einen Pol (die y-Achse) aufweisen.