Warum ist die Zuordnung keine Funktion?

Was ist eine Zuordnung?

• Um zu verstehen, was in der Mathematik eine Zuordnung ist, stellen Sie sich zunächst einmal zwei Mengen vor. Diese beiden Mengen können Zahlen, Buchstaben, Gegenstände oder zum Beispiel auch ganze Wörter enthalten. Nennen Sie diese einfach Elemente der Menge, egal, um was es sich handelt.
• Nun schaffen Sie mit der Zuordnung eine Art Verbindung zwischen diesen beiden Mengen. So ordnen Sie Elementen der ersten Menge Elemente der zweiten Menge zu. Dies können Sie zum Beispiel durch Pfeile grafisch symbolisieren oder durch eine Art Vorschrift, die gar nicht unbedingt mathematisch sein muss. 
• Haben Sie beispielsweise in der ersten Menge Gegenstände und in der zweiten Menge Farben, so könnte die Zuordnung einfach die Farbe bzw. die Farben des Gegenstandes sein. Ist dieser mehrfarbig, so gehen vom Gegenstand eben mehrere Farbpfeile in die zweite Menge.
• Die Zuordnung könnte jedoch, wenn es sich in beiden Mengen um Zahlen handelt, auch "Verdopplung" bedeuten. In diesem Fall würden Sie der Zahl "2" aus der ersten Menge die Zahl "4" aus der zweiten Menge zuordnen.

Zuordnung, aber keine Funktion - warum?

• Der Begriff der Funktion ist in der Mathematik enger gefasst als der der Zuordnung. So ist jede (!) Funktion eine Zuordnung, jedoch nicht notwendigerweise umgekehrt.
• Eine Funktion liegt nämlich immer dann vor, wenn es sich um eine eindeutige Zuordnung handelt. In diesem Fall wird jedem Element der ersten Menge (bei Funktionen Definitionsmenge genannt) genau ein Element der zweiten Menge (Wertemenge genannt) zugeordnet. Die Sache ist eben eindeutig!
• Das Beispiel der Zuordnung, in der die Vorschrift "Verdopplung" hieß, ist eine Funktion, denn Sie ordnen in diesem Fall jeder Zahl aus der Definitionsmenge das Doppelte zu. Die Sache ist eindeutig. Sie können sogar die Zuordnungsvorschrift als f(x) = 2x aufschreiben.
• Das erste Beispiel mit den Gegenständen und den Farben ist jedoch keine Funktion. Aber warum? Wie schon erläutert, gibt es in der Menge der Gegenstände auch welche, die mehrere Farben haben. Sie haben hier mehr als einen Zuordnungspfeil in die zweite Menge der Farben gezeichnet. Hiermit ist die Zuordnung nicht eindeutig im Sinne von "Ist der Gegenstand jetzt weiß oder rot?" - Beides! Es handelt sich zwar um eine Zuordnung, jedoch nicht um eine Funktion.
• In der Mathematik ist die bekannteste Zuordnung, die keine Funktion ist, die Wurzel. Zur Erinnerung: Sie können aus jeder (positiven) Zahl zwei mögliche Wurzeln ziehen, nämlich eine positive und eine negative. Die Zuordnung ist also nicht eindeutig. Mit dem Zusatz f(x) = + √x bzw. f(x) = - √x "spalten" Sie die Zuordnung in zwei eindeutige Funktionen auf.