Äquivalenzklassen bestimmen - Anleitung

Was sind Äquivalenzrelationen?

Zunächst einmal ist eine Relation eine Zuordnung zwischen zwei Mengen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss.

• Beispielsweise ist die Funktion y = 2x auf jeden Fall eine Relation, denn sie ordnet jedem x-Wert aus einer bestimmten Menge von Zahlen durch Ausrechnen einen y-Wert zu.
• Äquivalenzrelationen sind ganz spezielle Zuordnungen, die noch engere Bedingungen erfüllen müssen. In der Sprache der Mathematiker müssen sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
• Am besten lassen sich diese drei Begriffe an einem Beispiel verdeutlichen: Eine große Geldmenge wird nach dem Wert von Scheinen sortiert. Dabei ist es unerheblich, welche Nummer die einzelnen Geldscheine haben, wichtig ist nur ihr Wert.
• Diese Zuordnung ist reflexiv, denn jedes Objekt ist zu sich äquivalent zu Deutsch: Jeder 100-Euro-Schein ist ein 100-Euro-Schein, egal, welche Nummer er trägt.
• Wenn Schein a den gleichen Wert wie Schein b hat, dann hat auch Schein b den gleichen Wert wie Schein a. Dies nennt man symmetrisch.
• Und zuletzt überträgt sich die Eigenschaft: Wenn also Schein a und b den gleichen Wert haben und auch die Scheine b und c die gleichen Werte haben, dann haben (logischerweise) auch die Scheine a und c die gleichen Werte, zum Beispiel 50 Euro. Diese Eigenschaft nennt man transitiv. 

So bestimmen Sie Äquivalenzklassen

Die oben beschriebenen Äquivalenzrelationen haben - zumindest für Mathematiker - einige interessante Eigenschaften:

• Eine davon ist es, dass sie die Mengen, auf denen man sie definiert hat, in mehrere Untermengen aufteilen, die keine gemeinsamen Elemente haben. Und: Die Aufteilung ist komplett, es bleibt nichts übrig.
• Im obigen Geldbeispiel teilt sich die Menge der Geldscheine in die Klassen der Wertigkeiten auf, also 100-Euro-Scheine, 50-Euro-Scheine etc. Diese Mengen sind getrennt, denn ein 100-Euro-Schein kann nicht gleichzeitig ein 50-Euro-Schein sein.
• Diese Untermengen, die durch die Äquivalenzrelation entstehen, werden Äquivalenzklassen genannt. In jeder dieser Untermengen befinden sich nur Elemente, die entsprechend der Äquivalenzrelation (Scheine nach Wert sortieren) identisch sind. Völlig unwichtig ist dabei, ob es sich um einen neuen oder alten Schein handelt, ob er gewaschen wurde oder ein Stückchen fehlt, es interessiert nur der Wert des Geldscheins - und schon landet er in einer Äquivalenzklasse.
• Allgemein gilt daher: Wollen Sie für eine Äquivalenzrelation die Äquivalenzklassen bestimmen, müssen Sie einfach alle Mengen mit Objekten (Scheine, Zahlen oder was auch immer) finden, die durch die Zuordnung als gleich behandelt werden.

Restklassen sind spezielle Äquivalenzklassen - ein weiteres Beispiel

• Ein weiteres Beispiel ist die Äquivalenzrelation, bei der jeder natürlichen Zahl (1, 2, 3...) ihre sogenannte Restklasse bezüglicher einer Primzahl p zugeordnet wird.
• Dabei wird die entsprechende Zahl durch die vorgegebene Primzahl p geteilt und der Rest wird der Zahl zugeordnet.
• Wählt man beispielsweise p = 7, dann sind die Zahlen 2, 16, 23... äquivalent, denn sie ergeben den gleichen Rest (nämlich 2), wenn man sie durch 7 teilt.
• Die Äquivalenzklassen dieser Zuordnung sind einfach zu bestimmen, denn die natürlichen Zahlen zerfallen in Mengen, die als Reste 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 haben. Es gibt dementsprechend 7 Äquivalenzklassen für diese Äquivalenzrelation.