Quadrat-Volumen berechnen? - Begriffserklärung und Berechnung von Fläche und Volumen

Von der Fläche zum Volumen - Grundbegriffe zum Berechnen der Geometrie einfach erklärt

Mathematik ist nach wie vor nicht jedermanns Sache. Doch die Geometrie ist leicht verständlich, wenn Sie sich Beispiele aus dem Alltag vor Augen halten.

• Eine Fläche ist eine zweidimensionale Fläche irgendwo im Raum. Das kann eine Tischplatte sein, ein Stück Papier oder auch eine Frisbeescheibe, die durch die Luft fliegt. 
• Flächen können ganz unterschiedliche Formen und Ausmaße haben; in diesem Beispiel bleibt es bei den Vierecken. Diese sind für den Einstieg anschaulich erklärbar.
• Stellen Sie sich ein einfaches Rechteck mit zwei kurzen und zwei langen Seiten vor. Die kurzen Seiten sind gleich lang und die langen Seiten ebenfalls. Die kurzen Seiten nennen Sie z. B. "a", die langen Seiten "b".
• Das Rechteck ist eine Fläche. Um den Umfang der Fläche zu errechnen, addieren Sie einfach 2a + 2b (einfacher ausgedrückt: a+a+b+b) und schon haben Sie die Länge des Umfangs. Das Ergebnis wird meistens in cm oder m ausgedrückt.
• Die Fläche (oder den Flächeninhalt) dieses Rechtecks auszurechnen, bedeutet, dass Sie die Fläche innerhalb des Umfangs berechnen möchten.
• Dafür müssen Sie nur die lange Seite mit der kurzen Seite multiplizieren. Die Formel heißt deshalb: (a) x (b). Das Ergebnis wird hier in cm² (Quadratzentimeter) oder m² (Quadratmeter) ausgedrückt.
• Um das Volumen zu errechnen, müssen Sie sich eine dreidimensionale Form vorstellen. So kann Ihr Rechteck z. B. die obere (und untere) Fläche einer Streichholzschachtel sein. Die Streichholzschachtel ist dreidimensional und hat deshalb einen Körper mit einem Volumen. Dieser Körper hat in der Geometrie den Namen Quader.
• Überlegen Sie, wie aus der Fläche das Volumen errechnet werden kann. Es ist ganz einfach, denn Sie müssen sie nur mit der Höhe multiplizieren.
• Für alle, die eine visuelle Vorstellung benötigen: Stellen Sie sich die Grundfläche so oft gestapelt vor, bis die Höhe (= h) der Schachtel erreicht ist. Die Formel lautet deshalb: (a) x (b) x (h). Die Mathematiker vereinfachen dies auf: a x b x c.
• Das Volumenergebnis wird in ccm (= cm³) angegeben. Sie kennen die ccm-Angaben von Motoren. Dort geht es um den Hubraum, auch ein Volumen.
• Die gesamte Oberfläche (Mantel) der Schachtel errechnen Sie, indem Sie die einzelnen Flächen addieren. Da jeweils 2 Flächen gleich sind, müssen Sie nur alle 3 Seitenflächen ausrechnen und dann addieren. Da es ein Flächenergebnis ist, wird die Zahl in cm²/m² angegeben. Die Formel der Oberfläche ist: (2 x a x b + 2 x a x c + 2 x b x c).
• Das Quadrat gilt als eine Sonderform unter den Vierecken, aber es ist auch eine Fläche, kein Körper. Dennoch hat es eben Besonderheiten, die die Formeln etwas anders aussehen lassen.

Die Besonderheiten des Quadrats in Umfang, Fläche und Volumen

Das Quadrat ist eine Sonderform bei den Vierecken und eine Besonderheit unter den Quadern. Sie können sich bestimmt denken, weshalb das so ist und weshalb das Berechnen dann ganz einfach und schnell geht.

• Das Quadrat hat 4 gleich lange Seiten. Es gibt also kein "a" und "b", sondern nur "a" - oder aber beide sind mit identischen Werten anzugeben. In der Mathematik wird vereinfacht dann nur mit "a" gerechnet.
Der Umfang eines Quadrats ist dann a+a+a+a = 4a.
• Die Fläche eines Quadrats ist also (a) x (a) = a².
• Wenn aus einem Quadrat ein Körper konstruiert wird, dann entsteht ein Würfel.
• Das Volumen eines Würfels errechnet sich genauso wie beim Quader. Doch da hier alle Seiten gleich sind, ist die Höhe des Würfels genauso lang wie die Seitenlinien des Quadrats.
• Die Formel für das Volumen sieht darum so aus: (a) x (a) x (a) = a³.
• Ein Würfel hat 6 gleich große Seiten (Quadratflächen). Sie können daher Ihr Ergebnis von der Grundfläche a² einfach mit 6 multiplizieren (= 6a²) und erhalten so die Gesamtoberfläche des Würfels.

Für alle, die die Flächen und Körper lieber noch einmal vor Augen sehen möchten, gibt es Webseiten, die die Rechenwege und Formeln zeigen und grafisch veranschaulichen.

Viel Erfolg für die nächsten Berechnungen!