Beim Würfel die Flächendiagonale berechnen

Der Würfel ist der einfachste Körper

Wenn Sie an einen einfachen dreidimensionalen Körper denken, wird Ihnen sicherlich sofort ein Würfel einfallen. Dieser ist von seinem Aufbau her tatsächlich sehr einfach, denn er besteht nur aus Quadraten.

Ein Quadrat ist ein spezielles Viereck. Seine Fläche wird von vier gleichlangen Seiten begrenzt. Alle Seiten senkrecht aufeinander.

Aus sechs Quadraten können Sie einen Würfel bauen: Legen Sie an ein Quadrat an jeder Seite ein gleichgroßes Quadrat an. Klappen Sie die angelegten Quadrate senkrecht nach oben. Bedecken Sie die Kiste mit dem letzten sechsten Quadrat. Ein Würfel besteht also aus sechs Quadraten als Flächen.

Die Eigenschaften des entstandenen Würfels können Sie schnell selbst erkunden: An jeder der acht Ecken treffen sich je drei Quadrate. Jeder Würfel hat zwölf begrenzende geradlinige Kanten. Die Kantenlänge entspricht der Seitenlänge der Quadrate.

Der Würfel ist salopp gesprochen eine gleichmäßige Schachtel. Eine "richtige" Schachtel, Quader genannt, entsteht, wenn Sie statt Quadrate Rechtecke benutzen. Eine Streichholzschachtel ist ein bekanntes Beispiel für einen Quader.

Der Würfel hat zwei unterschiedliche Diagonalen

Beim Begriff "Diagonale" müssen Sie bei einem geometrischen Körper aufpassen. Viele Körper verfügen über mehrere Diagonalen:

Eine Diagonale ist so definiert, dass sie gegenüberliegende Ecken einer Fläche oder eines Körpers geradlinig verbindet. Benachbarte Ecken verbinden eine Seite wie beim Quadrat oder eine Kante wie beim Würfel.

Der Würfel als dreidimensionaler Körper hat unterschiedlich lange Diagonalen. Einerseits können Sie eine Flächendiagonale zeichnen, indem Sie je zwei gegenüberliegende Ecken eines Quadrats miteinander verbinden. Diese Flächendiagonale entspricht der normalen Diagonale, die Sie von einem Quadrat kennen. Sie liegt komplett innerhalb des Quadrats.

Andererseits hat der Würfel auch (längere) Raumdiagonalen. Diese Diagonalen verbinden zwei gegenüberliegende Ecken quer durch den Innenraum des Würfels. Die Raumdiagonalen befinden sich stets innerhalb der Quadrate, die den Würfel aufbauen.

Wie Sie schnell bemerken werden, gibt es beim Würfel zwölf gleichlange Flächendiagonalen, nämlich zwei pro Quadrat, sowie vier ebenfalls gleichlange Raumdiagonalen. Spricht man beim Würfel von der Diagonalen, so ist stets die Raumdiagonale gemeint.

Die Flächendiagonale berechnen

Die Flächendiagonale können Sie in wenigen Schritten mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

1. Die Flächendiagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen der Satz des Pythagoras gilt. Die beiden Katheten haben jeweils Kantenlänge, die Hypotenuse entspricht der Länge der Flächendiagonalen.
2. Wenn Sie die Kantenlänge mit a und die Länge der Flächendiagonalen mit f bezeichnen, gilt: a² + a² = d² und weiter 2 a² = f²
3. Diese quadratische Gleichung können Sie durch Wurzelziehen nach der gesuchten Flächendiagonalen f auflösen. Sie erhalten als Berechnungsformel f = a * √2 . Die Formel zeigt, dass die Flächendiagonale f länger als die Kantenlänge a ist, denn √2 hat (näherungsweise) den Wert 1,41.
4. Hat Ihr Würfel zum Beispiel eine Kantenlänge von a = 3 cm, so berechnen Sie die Flächendiagonale f = 3 cm * √2 = 4,24 cm (Taschenrechnerergebnis gerundet auf zwei Nachkommastellen).

Haben Sie es bemerkt? Die Flächendiagonale beim Würfel ist nichts weiter als die Ihnen schon bekannte Diagonale beim Quadrat.

So berechnen Sie Raumdiagonale, Oberfläche und Volumen

Meist sollen Sie jedoch beim Würfel nicht nur die Flächendiagonale berechnen, sondern auch die Raumdiagonale, die Oberfläche und das Volumen. In folgendem Abschnitt erhalten Sie die dazu nötigen Formeln sowie Beispielrechnungen.

Die Raumdiagonale d ist länger als die Flächendiagonale f. Sie können sie mit der Formel d = a * √3 berechnen, die sich ebenfalls aus dem Satz des Pythagoras ergibt. Hat Ihr Würfel wieder die Kantenlänge a = 3 cm, so berechnen Sie d = 3 cm * √3 = 5,2 cm.

Unter dem Volumen V eines Würfels versteht man den Rauminhalt. Gedanklich können Sie sich das Volumen als die Menge an Wasser vorstellen, die man in den Würfel hineingießen kann. Es gilt V = Länge mal Breite mal Höhe = a³, da beim Würfel die drei Größen jeweils der Kantenlänge entsprechen. Der Würfel mit a = 3 cm hat also ein Volumen V = 3³ cm³ = 27 cm³ (sprich: Zentimeter hoch drei oder Kubikzentimeter).

Die Oberfläche OF eines Körpers ist die (gesamte) Größe seiner Randflächen. Im Fall eines Würfels sind dies die Flächen der sechs Quadrate, aus denen er besteht. Es gilt die Formel OF = 6 * a². Der betrachtete Beispielwürfel hat eine Oberfläche OF = 6 * 3²  cm² = 6 * 9 cm² = 54 cm² (sprich: Zentimeter hoch zwei oder Quadratzentimeter).

Der bekannte Würfel ist der einfachste geometrische Körper. Er besteht aus sechs gleichgroßen Quadraten. Mit dem Satz des Pythagoras können Sie die Flächendiagonale sowie die längere Raumdiagonale des Körpers leicht berechnen.