Funktion dritten Grades - Informatives

Was ist eine Funktion dritten Grades?

Funktionen dritten Grades begegnen Ihnen meist im Zusammenhang mit Polynomen, bzw. ganzrationalen Funktionen. Denn eine derartige Funktion ist nichts weiter als ein Polynom dritten Grades. Aber was ist das?

• Bei Polynomen dritten Grades ist die höchste vorkommende Potenz für die Variable x³. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Die Koeffizienten a, b, c und d sind reelle Zahlen. Dabei darf a nicht Null sein, denn sonst wäre der Grad der Funktion nicht "3", sondern nur "2".
• Beispiele für Funktionen dritten Grades sind f(x) = 2x³ - 5x +7 oder auch f(x) = 1/2 x³ - 4. Auch die sehr einfache Potenzfunktion f(x) = x³ ist natürlich ein solches Polynom dritten Grades, bei dem allerdings b = c = d = 0 und a = 1 sind.

Der Graph ist eine Wendeparabel

Zeichnet man die Graphen zu ganzrationalen Funktionen dritten Grades, so erhält man sogenannte Wendeparabeln. Dabei handelt es sich um eine nach oben geöffnete Parabel, die am Wendepunkt in eine nach unten geöffnete Parabel übergeht.

• Je nachdem, wie dicht die beiden Parabelteile aneinanderrücken, entstehen breitere oder auch schmalere Graphen. Im Extremfall fehlt der jeweils zweite Parabelast vollständig, wie der Graph der Funktion f(x) = x³ zeigt.
• Alle Funktionen dritten Grades verfügen über einen Wendepunkt (Bed. f''(x) = 0); im Fall von f(x) = x³ handelt es sich sogar um einen Sattelpunkt (zusätzlich f'(x) = 0).
• Fast alle Funktionen dritten Grades (außer f(x) = ax³ + d) haben Extremwerte, und zwar ein Maximum und ein Minimum, die aus den beiden Parabelhälften resultieren. Sie berechnen diese Extrema mit der ersten Ableitung f'(x) = 0 und müssen eine quadratische Gleichung lösen.
• Die Nullstellen solcher Polynome zu berechnen, kann allerdings in einigen Fällen Schwierigkeiten machen, da eine Gleichung dritten Grades gelöst werden muss. Hierfür steht leider keine Formel (wie zum Beispiel die pq-Formel) zur Verfügung.