Kubische Funktion - eine einfache Erklärung

Eine kubische Funktion - was ist das?

Eine kubische Funktion ist nichts anderes als eine ganzrationale Funktion dritten Grades, also eine Funktion f: R->R, die die Form f(x) = ax³+bx²+cx+d hat, wobei die Parameter a, b, c, d aus den reellen Zahlen und gleichzeitig a ungleich 0 ist.

• Die Funktion hat, je nach Wahl der Parameter a, b, c und d, maximal drei Nullstellen, mindestens jedoch eine Nullstelle.
• Die Funktion hat einen Wendepunkt und ist punktsymmetrisch bezüglich ihres Wendepunktes.
• Kubische Funktionen können bis zu zwei Extremstellen besitzen, es kann aber auch sein, dass die kubische Funktion überhaupt keinen Extrempunkt besitzt (siehe Beispiel f(x) = x³).
• Eine besonders einfache kubische Funktion erhalten Sie, wenn Sie a = 1 und b = c = d = 0 wählen. Die so entstandene Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x³ ist puntsymmetrisch zum Ursprung, welcher auch ihr Wendepunkt und außerdem Sattelpunkt ist.

Wo treten kubische Funktionen auf?

• Häufig werden Ihnen kubische Funktionen bei der Einführung der Differntial- und Integralrechnung, also in der Oberstufe am Gymnasium, begegnen, da sich diese Funktionen besonders einfach ableiten und integrieren lassen.
• Solche Funktionen können Ihnen aber auch in der Betriebswirtschaft in Form einer Kostenfunktion begegnen. Steht x in einer solchen Funktion etwa für die produzierte Menge, so entsprechen dem Anteil d dabei gerade die Fixkosten.
• Durch Differentiation und anschließendem Lösen einer quadratischen Gleichung können Sie die optimale Produktionsmenge aus Sicht minimaler Kosten bestimmen.

Mit etwas Übung können Sie kubische Funktionen relativ einfach untersuchen und deren Extremstellen schnell angeben.