Kern einer Matrix berechnen - so wird's gemacht

Matrix und lineare Abbildung - der Zusammenhang

• Eine Matrix ist zunächst nichts weiter als eine geordnete Ansammlung von (meist) Zahlen. Die Anordnung findet in Zeilen und Spalten statt, sodass Sie von einer m x n-Matrix mit m Zeilen und n Spalten sprechen.
• Matrizen haben vielfältige Anwendungen. So können sie beispielsweise lineare Gleichungssysteme repräsentieren. Aber auch im Bereich der mathematischen Abbildungen (Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen) spielen Matrizen eine Rolle.
• Mit einer Matrix können Sie eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen darstellen, also zwischen Mengen, die Vektoren enthalten. Im einfachsten Fall bildet eine Matrix Vektoren des dreidimensionalen Raumes auf andere Vektoren dort ab, beispielsweise als Spiegelung an einer Ebene.
• Sie berechnen das Bild eines beliebigen Vektors, indem Sie die Matrix mit diesem multiplizieren.

Bild, Kern und Fixpunktemenge - einfach erklärt

• Für lineare Abbildungen, die sich als Matrix darstellen, kennen Mathematiker drei wichtige, grundlegende Begriffe, nämlich Bild, Kern und Fixpunktmenge der Abbildung bzw. der Matrix.
• Das Bild einer Matrix besteht aus denjenigen Vektoren, die Sie erzeugen, wenn Sie die Matrix auf alle möglichen Vektoren Ihres ursprünglichen Vektorraums anwenden. In gewisser Weise ähnelt dieses Bild der Wertemenge einer Funktion.
• Der Kern einer Matrix ist die Menge alle Vektoren (oder Punkte), die von dieser Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden. Ist A die Matrix, so berechnen Sie die gesuchten Vektoren x  mit der Gleichung A * x = 0. Dabei symbolisiere 0 den Nullvektor, der hier nicht mit Pfeil dargestellt werden kann. Der Kern einer Matrix ist also im Allgemeinen eine Teilmenge des ursprünglichen Vektorraums.
• Die Fixpunktemenge einer Matrix ist die Menge der Vektoren, die durch die Matrix A auf sich selbst abgebildet werden. Vereinfacht gesagt kann man die Abbildung auf diese Menge an Vektoren anwenden und alles bleibt beim Alten.

Die Theorie erhellen - Beispiele berechnen

Grau und oft undurchsichtig sind solche Theorieteile. Daher sollen in diesem Abschnitt einige Grundbeispiele die Begriffe erhellen:

• Die einfachste Abbildung ist die sog. Nullabbildung, bei der alle Punkte bzw. Vektoren des R³ auf den Nullvektor abgebildet werden. Zu dieser Abbildung gehört eine 3 x 3-Matrix, die nur Nullen enthält. Die Bildmenge besteht hier nur aus einem einzigen Element, nämlich dem Nullvektor. Der Kern der Matrix ist der komplette R³, denn es werden alle Vektoren auf die Null abgebildet. Auch die Fixpunktemenge ist übersichtlich, sie besteht lediglich aus dem Nullvektor.
• Die sog. identische Abbildung (auch Identität genannt) hat als Matrix die Einheitsmatrix, beispielsweise E₃ im dreidimensionalen Raum. Bildmenge ist der komplette R³, Kern ist lediglich der Nullvektor und Fixpunktemenge ist ebenfalls der komplette R³.
• Wollen Sie für eine beliebige Matrix A den Kern berechnen, so läuft Ihre Arbeit darauf hinaus, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Denn als Bedingung haben Sie A * x = 0. Berechnet man die linke Seite, so ergeben sich beispielsweise für den dreidimensionalen Fall drei Gleichungen mit den drei Koordinaten des Vektors x als Unbekannte.