Inverse Matrix berechnen 2x2 - so geht's

So sieht eine 2x2-Matrix aus

• Eine 2x2-Matrix hat zwei Spalten und zwei Zeilen und damit vier Einträge. Die einzelnen Elemente benennt man mit x₁₁, x₁₂, x₂₁, x₂₂, wobei die erste Zahl im Index für die Zeile steht und die zweite Zahl für die Spalte. Der Wert x₁₂ ist also der zweite Wert in der ersten Zeile.
• Nur quadratische Matrizen der Form nxn sind invertierbar. Das Verfahren zur Bestimmung der inversen Matrix läuft immer gleich ab.
• Es gilt A*A^-1 = E, wobei A Ihre Marix, A^-1 und E die Einheitsmatrix ist. Im nächsten Abschnitt erfahren Sie, wie Sie die inverse Matrix berechnen können.

So berechnen Sie die inverse Matrix

1. Schreiben Sie Ihre 2x2-Matrix auf, ziehen Sie neben ihr einen senkrechten Strich und schreiben Sie auf der anderen Seite des Strichs die 2x2-Einheitsmatrix mit den Einträgen x₁₁ = 1, x₁₂ = 0, x₂₁ = 0, x₂₂ = 1 so hin, dass die Zeilen der beiden Matrizen auf gleicher Höhe sind. Als Beispiel betrachten Sie die Matrix A mit den Einträgen x₁₁ = 1, x₁₂ = 2, x₂₁ = 3 und x₂₂ = 4.
2. Führen Sie nun Zeilenumformungen für Ihre Ausgangsmatrix durch, die Sie ebenso für die Einheitsmatrix durchführen. Dividieren Sie beispielsweise die erste Zeile Ihrer Ausgangsmatrix durch 2, dann tun Sie dasselbe auch für die Einheitsmatrix. In Ihrem Beispiel multiplizieren Sie die erste Zeile Ihrer Matrix mit -3 und addieren Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile (Sie wollen im Feld x₂₁ auf der linken Seite eine 0 erzeugen). Auf der linken Seite stehen nun die Werte x₁₁ = 1, x₁₂ = 2, x₂₁ = 0 und x₂₂ = -2. Auch die rechte Seite hat sich geändert. Hier haben Sie x₁₁ = 1, x₁₂ = 0, x₂₁ = -3 und x₂₂ = 1.
3. Schreiben Sie nach jedem Rechenschritt die neu ermittelten Matrizen wieder nebeneinander und fahren Sie mit der nächsten Zeilenumformung fort, bis Sie schließlich auf der linken Seite die Einheitsmatrix stehen haben. Auf der rechten Seite steht dann die inverse Matrix und Sie sind fertig.
4. Im zweiten Schritt müssen Sie nun die zweite Zeile zur ersten Zeile addieren, so haben Sie an der Stelle x₁₂ eine weitere 0 erzeugt. Es ergibt sich für die linke Matrix x₁₁ = 1, x₁₂ = 0, x₂₁ = 0 und x₂₂ = -2, auf der rechten Seite x₁₁ = -2, x₁₂ = 1, x₂₁ = -3 und x₂₂ = 1.
5. Im letzten Schritt teilen Sie nun die zweite Zeile durch -2, so haben Sie im Feld x₂₂ der linken Seite eine 1 erzeugt und Sie erhalten auf der linken Seite die Einheitsmatrix mit den Einträgen x₁₁ = 1, x₁₂ = 0, x₂₁ = 0 und x₂₂ = 1. Ihre inverse Matrix steht nun auf der rechten Seite und hat die Einträge x₁₁ = -2, x₁₂ = 1, x₂₁ = 3/2 und x₂₂ = -1/2.
6. Eine Probe können Sie ganz einfach durchführen, indem Sie die beiden Matrizen multiplizieren. Als Ergebnis erhalten Sie die Einheitsmatrix.

Üben Sie dieses Verfahren am besten mehrere Male an verschiedenen Matrizen und berechnen Sie deren inversen Matrizen, um sicherer zu werden. Achten Sie darauf, dass Sie Ihre Matrix auf der linken Seite Schritt für Schritt zur Einheitsmatrix umformen. Dies gelingt, wenn Sie die Spalten von links nach rechts durchlaufen.