Vektoren-Multiplikation - so wird's gemacht

Vektoren sind mathematische Gebilde, die sich durch eine Länge und eine Richtung auszeichnen. Als gutes Beispiel sei die Kraft in der Physik genannt, die einen Wert sowie eine Kraftrichtung besitzt. Im einfachsten Fall sind Vektoren durch Koordinaten gegeben: zwei Koordinaten im zweidimensionalen, drei Koordinaten im dreidimensionalen Raum. Vektoren kann man nicht so einfach miteinander multiplizieren, wie Sie das von Zahlen her kennen. Tatsächlich gibt es zwei Möglichkeiten, die Multiplikation zweier Vektoren durchzuführen. Im Folgenden seien Vektoren einfach mit kleinen Buchstaben bezeichnet, da die übliche Pfeilschreibweise hier nicht möglich ist. Bedenken Sie, dass Sie über jeden der Vektoren einen Rechtspfeil setzen müssen.

Die Multiplikation führt auf eine Zahl

• Dabei handelt es sich um das sogenannte Skalarprodukt. Die Multiplikation zweier Vektoren hat als Ergebnis eine Zahl, auch Skalar genannt.
• Definiert ist das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b wie folgt: a • b = |a| • |b| • cos (Alpha). Dabei bezeichnet |a| die Länge des Vektors a (entsprechend für b) und Alpha ist der Winkel zwischen beiden Vektoren. Sie sehen aus dieser Formel, dass das Ergebnis dieser Multiplikation stets eine Zahl ergibt.
• Sind die beiden Vektoren in Koordinaten gegeben, a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3), dann lässt sich das Skalarprodukt sehr einfach berechnen. Es gilt nämlich a • b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3. Auch in diesem Fall ist das Ergebnis eine reine Zahl.
• Interessant sind die Eigenschaften dieses Skalarproduktes. Ist der Winkel Alpha zwischen den beiden Vektoren 0°, dann erhalten Sie das Skalarprodukt durch einfache Multiplikation der Vektorlängen. Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt Null (weil cos 90° = 0). Diese Eigenschaft können Sie ausnutzen, um Vektoren auf Orthogonalität zu überprüfen.
• Physikalisch ist mit dem Skalarprodukt übrigens die Arbeit W entlang eines Weges s verbunden. Stehen Kraft F und Weg s nicht parallel aufeinander, ergibt sich die Arbeit W = F • s als Skalarprodukt aus beiden Größen.

Das Kreuzprodukt für Vektoren

• Die zweite Möglichkeit für eine Multiplikation zweier Vektoren ist das Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt. Zur Unterscheidung zum Skalarprodukt verwenden Sie hier das Kreuzzeichen "x" zwischen beiden Vektoren. Der Ausdruck "a x b" wird passend als "a kreuz b" gelesen. Der senkrechte Vektor c folgt dabei der sogenannten Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung a, Zeigefinger in Richtung b und der Mittelfinger zeigt dann in Richtung c - ein rechtshändiges Dreibein. 
• Als Ergebnis dieser Multiplikation a x b = c erhalten Sie einen Vektor, der senkrecht auf der von a und b gebildeten Ebene steht. Für die Länge dieses Vektors gilt die Formel |c| = |a| • |b| • sin(Alpha), wobei Alpha wieder der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist.
• Liegen die beiden Vektoren a und b in Koordinatenform vor, so berechnen Sie die Koordinaten des Vektors c = a x b anhand der in dem Foto angegeben Formel.
• Mit dem Vektorprodukt lassen sich orthogonale Vektoren ausrechnen sowie Volumina von dreidimensionalen Körpern wie einem Quader berechnen. Wird das Vektorprodukt Null, sind die beiden Grundvektoren a und b parallel.