Matrizen-Aufgaben - so multiplizieren Sie zwei Matrizen

Matrizen - das sollten Sie wissen

Eine Matrix ist zunächst nichts weiter als eine Ansammlung von Zahlen, die in Reihen und Spalten geschrieben werden.

• Dabei kann es sich um die Koeffizienten eines Gleichungssystems handeln, aber auch um Vektoren in den Spalten oder um die Zahlen, mit denen man eine Abbildung beschreiben kann, beispielsweise eine Drehung im dreidimensionalen Raum.
• Mit Matrizen kann man rechnen wie mit Zahlen, wenn man einige Grundregeln beachtet. So lassen sich Matrizen mit gleicher Anzahl an Spalten und Zeilen beispielsweise addieren, mit einer Zahl multiplizieren und unter bestimmten Bedingungen auch miteinander multiplizieren.
• Für diese Rechenoperationen gelten einfache Regeln. 

So lassen sich Matrizen multiplizieren

• Werden zwei Matrizen miteinander multipliziert, kann man sich dafür eine geometrische Operation vorstellen: Zwei Abbildungen, zum Beispiel eine Drehung und ein Verschieben, werden hintereinander ausgeführt. 
• Es lassen sich nicht beliebige Matrizen miteinander multiplizieren, sondern nur eine (m x n) - Matrix mit einer (n x m) - Matrix. Das heißt, die erste Matrix hat m Zeilen und n Spalten, die zweite n Zeilen und m Spalten.
• In den meisten Fällen, die Abbildungen im dreidimensionalen Raum betreffen, ist m = n = 3, das heißt man multipliziert eine (3 x 3) - Matrix mit einer ebensolchen.
• Leider ist das Multiplizieren von Matrizen nicht so einfach zu machen, wie man beispielsweise einzelne Zahlen multipliziert.
• Die Rechenregeln sind komplizierter, da man stets eine Zeile der ersten Matrix mit einer Spalte der zweiten Matrix verarbeiten muss.
• So müssen Sie stets der Reihe nach die Zahlen der Zeile mit den Zahlen der Spalte durchmultiplizieren und die einzelnen Produkte auch noch aufaddieren. Der Wert dieser Rechnung steht dann genau am Kreuzungspunkte (!) von dieser Zeile und Spalte, die Sie benutzt haben. Das klingt zunächst kompliziert, ist es jedoch nicht, sobald man das System verstanden hat.
• Wenn Sie Aufgaben mit (3 x 3) - Matrizen haben, müssen Sie also 9 Werte bilden, die jeweils aus einer Summe von Produkten bestehen.

Multiplikations-Aufgaben - ein durchgerechnetes Beispiel

Um das System zu verdeutlichen, sollen zwei Matrizen multipliziert werden, die beide (der Einfachheit halber) nur 2 Zeilen und 2 Spalten haben. Es handelt sich also um (2 x 2) - Matrizen. Die Zahlen für die Zeilen und Spalten entnehmen Sie bitte der Abbildung zu diesem Artikel. 

1. Zunächst multiplizieren Sie die Zahlen der ersten Zeile mit den Zahlen der ersten Spalte. Sie berechnen (-1) x 1 + 2 x 2 = 3. Das Ergebnis steht in der multiplizierten Matrix an erster Stelle, dem Kreuzungspunkt der ersten Zeile und ersten Spalte.
2. Nun kommen die erste Zeile und die zweite Spalte dran. Sie berechnen (-1) x (-3) + 2 x 1 = 5. Das Ergebnis wird am entsprechenden Kreuzungspunkt eingetragen (vgl. Abb.).
3. Nun kommt die zweite Zeile multipliziert mit der ersten Spalte dran. Sie berechnen 0 x 1 + 4 x 2 = 8. Tragen Sie das Ergebnis ein.
4. Als Letztes multiplizieren Sie die zweite Zeile mit der zweiten Spalte und erhalten 0 x (-3) + 4 x 1 = 4 als letztes noch fehlendes Element der multiplizierten Matrix.

Anmerkung: Wenn Sie Aufgaben mit größeren Matrizen bewältigen müssen, ergeben sich natürlich entsprechend mehr Summen, die Sie berechnen müssen. Aber das System läuft immer gleich. Vielleicht markieren Sie sich mit entsprechenden Farben schon im Voraus den Kreuzungspunkt der aktuellen Berechnung, damit Sie den Zahlenwert dort gleich eintragen können.