Zahlendreiecke - Informatives

Aufbau der Zahlendreiecke

• Bei Zahlendreiecken wird ein Dreieck so in drei Felder unterteilt, dass an jede Seite zwei Felder angrenzen (wie es in der Skizze zu sehen ist).
• In die Felder des Dreiecks werden beliebige Zahlen geschrieben. Im Beispiel sind dies die allgemeinen Zahlen a, b und c.
• Die Summe der Zahlen in den beiden Feldern wird außen an die jeweilige Dreiecksseite geschrieben. Das sind im Beispiel die allgemeinen Zahlen d, e und f.
• Es gilt demnach der Zusammenhang d = a + c; e = a + b und f = b + c.
• Aus diesen Überlegungen folgt: Die Summe d + e + f = a + c + a + b + b + c = 2 (a + b + c). Wenn Sie also die drei außen liegenden Zahlen addieren, erhalten Sie das Doppelte wie bei den drei innen liegenden Zahlen.

Folgerungen aus dem Aufbau des Dreiecks

• Obwohl Sie sechs Unbekannte haben, sind Zahlendreiecke eindeutig bestimmt, wenn drei der Variablen gegeben sind. Zur Verdeutlichung werden die gegebenen Werte in Großbuchstaben geschrieben.
• Wenn die drei innen liegenden Zahlen bekannt sind, können die drei außen liegenden jeweils durch Addition von zwei der Innenzahlen errechnet werden: d = A + C; e = A + B und f = B + C.
• Angenommen es sind zwei innen liegende Zahlen bekannt, z. B. A und B und eine außen liegende Zahl, die sich nicht aus A+B ergibt, z. B. F, dann rechnen Sie so:  e = A + B, c = F - B und d = c + A. Auf diesem Weg können Sie immer die drei fehlenden Zahlen bestimmen.
• Sollte aber A, B und E gegeben sein, werden Sie zu keinem Ergebnis kommen. Das liegt daran, weil A+B = E ist und somit eine Angabe überflüssig ist. Die Kenntnis der Zahl E beinhaltet keine neue Information, Sie können die Zahl aus  A und B errechnen.
• Sofern Sie die drei außen liegenden Zahlen, also D, E und F haben, können Sie so rechnen: D = a+c; E = a+b => D-E = c-b ; F = b + c. Addieren Sie nun (D-E) + F = c - b + b + c => D-E+F = 2 c => c = (D-E+F)/2.

Sie sehen in den Zahlendreiecken steckt einiges an Mathematik.