Produktgleichung - so lösen Sie sie

Voraussetzungen bei einer Produktgleichung

Um eine Produktgleichung zu verstehen, sollten Sie Kenntnisse vom Vergleichen von Zahlen besitzen.

• Sie können zwei Zahlen, beispielsweise 15 und 3 in verschiedener Weise vergleichen. Bilden Sie eine Differenz aus 15 - 3, so ist 15 um 12 größer als 3 und 3 ist um 12 kleiner als 15.
• Wird von Ihnen der Quotient aus 15 : 3 gebildet, so ist 15 fünfmal so groß wie 3, 3 der fünfte Teil oder ein Fünftel von 15.
• Die Produktgleichung wird von Ihnen bei Verhältnissen genutzt. So verhalten sich 15 und 3 wie 5 zu 1, man sagt auch 15 und 3 stehen im Verhältnis 5 und 1.
• Das Verhältnis zweier Zahlen entspricht einem Bruch. So ist 15 : 3 = 15 / 3 oder a : b = a / b. Beachten Sie, dass sich jeder Bruch erweitern und gelegentlich kürzen lässt.
• Durch Erweiterung entsteht eine Verhältniskette wie beispielsweise 15 : 3 = 5 : 1 = 10 : 2 = 30 : 6 = 40 : 8.
• Merken Sie sich, dass zwei beliebige Verhältnisse eine Verhältnisgleichung oder Proportion ergeben wie 40 : 2 = 40 : 8 oder allgemein formuliert a : b = c : d, aus der eine Produktgleichung gebildet werden kann.
• Bei der Proportion a : b = c : d sind a und d die äußeren Glieder sowie b und c die inneren Glieder der Proportion.
• Durch die Vertauschungsgesetze können Sie nun die Produktgleichung der Proportion bilden.
• Für die Proportion a : b = c : d ergibt sich die Produktgleichung (a : b) _* bd = (c : d) = a _* d = b _* c. Merken Sie sich, dass bei jeder Proportion das Produkt aus den inneren Gliedern gleich dem Produkt aus den äußeren Gliedern ist.
• Beachten Sie, dass zu der Proportion genau eine Produktgleichung gehört, aber zu einer Produktgleichung  immer acht einander entsprechende Proportionen stehen.

Die Gleichung anwenden und lösen

Die Produktgleichung können Sie mit folgender Aufgabe üben:

1. Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 40 km/h benötigt ein Kraftwagen zur Fahrt von A nach B 2 1/2 Stunden. Wie lange würde er bei 50 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit für die gleiche Strecke benötigen?
2. Stellen Sie die Produktgleichung folgendermaßen auf: 40 km/h _* 2 1/2 h = 50 km/h _* x h. Sie erhalten für x = 2 h. Dies bedeutet, die Lösungsmenge ist 2 und dass der Kraftwagen bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h für die Fahrt von A nach B 2 Stunden benötigt.
3. Lösen Sie eine Produktgleichung, bei der ein Produkt gleich 0 ist, so besteht die Lösungsmenge aus zwei Zahlen. Bei dem Beispiel ( x - 10 ) _* ( 3 x + 12) = 0 errechnen Sie die erste Zahl der Lösungsmenge mit dem Faktor  x - 10 = 0 → x = 10 und die zweite Zahl mit 3 x + 12 = 0 → x = - 4 und erhalten die Lösungsmenge { - 4 ; 10 }.