Wurzel als Potenz schreiben - die Matheexpertin erklärt, wie es geht

Wurzeln als Potenzen schreiben - so gelingt's

• Wurzeln sind, egal, ob die einfache Quadratwurzel oder höhere Wurzeln, nicht nur unhandlich, sondern Sie können in vielen Fällen damit nur unter erschwerten Bedingungen rechnen, wobei sich auch noch schnell Fehler einschleichen.
• Aber: Jede Wurzel läst sich in eine Potenz umwandeln, wobei für Wurzeln die entsprechende Hochzahl ein Bruch ist. Für diese Potenzen jedoch gelten die relativ übersichtlichen Potenzgesetze, mit denen sich so auch Wurzeln behandeln und oft sogar vereinfachen lassen (siehe Beispiele unten).
• Es gilt:  ⁿ√ a = a ^1/n (sprich: n-te Wurzel aus a ist a hoch 1/n).
• Entsprechend schreiben Sie für √3 = 3 ^1/2 bzw. 3 ^0,5  und für x ^1/6 = ⁶ √ x.
• Auch kompliziertere Wurzelausdrücke lassen sich so als Potenzen schreiben. So ist beispielsweise (folgen Sie den Potenzgesetzen) ⁵ √ x³ =  (x³)^1/5 = x ^3/5.
• Besonders das letzte Beispiel verdeutlicht, dass die Potenzschreibweise für komplizierte Wurzelausdrücke nicht nur Übersicht schafft und das Rechnen erleichtert, sondern dass sich auch auf dem Taschenrechner auf diese Art komplexe Wurzeln einfach und leicht mit der x^y-Taste ziehen lassen. Je nach Modell müssen Sie dann für y einen Bruch bzw. eine Dezimalzahl eingeben.
• Und warum ist das so? Auch hier wollen Mathematiker natürlich dafür sorgen, dass die für Potenzen geltenden Rechenregeln erhalten bleiben. So gilt zum Beispiel entsprechend der Wurzeldefinition (ⁿ√ a) ⁿ = a. Nach den Potenzgesetzen ergibt sich 1/n x n = 1. Die Definition ist also folgerichtig. Das nur nebenbei!

Rechnen mit "Bruchpotenzen" - Beispiele

Viele bezeichnen Wurzeln als "Bruchpotenzen". Dies ist natürlich nicht ganz richtig, auch wenn sich Wurzeln als Potenzen mit Bruchzahlen als Hochzahl darstellen lassen.Im Folgenden sei an drei Beispielen dargestellt, wie sich das Rechnen mit solchen "Bruchpotenzen" ganz leicht aus den Potenzgesetzen ergibt:

• Man berechnet √a³ _* √a = a³/2 * a¹/2 = a⁴/2 = a² (Potenzen addieren beim Malnehmen und dann Potenz kürzen).
• So ist ⁴√ a^-2 = a^-2/4 = a^-1/2 = 1/√a (zusätzlich Definition negativer Hochzahlen anwenden).
• Es ist (ⁿ√ a²)ⁿ = (a²/n)ⁿ = a²n/n = a² (kürzen in der Potenz).