Was ist teilerfremd? - Der mathematische Begriff einfach erklärt

Teilerfremd - eine Antwort aus der Zahlentheorie

• Die Menge der natürlichen Zahlen (0,1,2,3...; manchmal auch ohne die Null) steckt voller Geheimnisse. Zunächst einmal gibt es gerade und ungerade Zahlen.
• Dann gibt es Primzahlen, also Zahlen, die außer der "1" und sich selbst keine weiteren Teiler haben.
• Und: Ein besonders interessantes Phänomen der natürlichen Zahlen ist, dass sich jede (!) dieser Zahlen als ein Produkt aus Primzahlen schreiben lässt.
• Auch zwei (unterschiedliche) Zahlen können interessante Eigenschaften haben. So kann die kleinere der beiden Zahlen beispielsweise als Teiler in der größeren enthalten sein (Beispiel: 3 in 12). Es kann jedoch eine (oder vielleicht sogar mehrere) weitere Zahlen geben, die in beiden Zahlen vorkommen( Beispiel: die beiden Zahlen 12 und 16 enthalten beide die "4").
• Als "teilerfremd" bezeichnet man zwei (oder noch mehr) Zahlen, wenn es keine Zahl gibt, die in beiden Zahlen multiplikativ vorhanden ist. 
• So sind die beiden Zahlen 9 und 44 teilerfremd. 9 und 42 jedoch nicht (gemeinsamer Teiler "3").

Wann sind Zahlen "teilerfremd"? - Tipps

• Zwei oder mehrere gerade Zahlen können niemals teilerfremd sein, da sie immer die Zahl "2" als Teiler haben. 
• Bei zwei Zahlen muss also immer mindestens eine der beiden Zahlen ungerade sein!
• Zwei oder auch mehrere Primzahlen sind immer (!) teilerfremd.
• Ist eine der Zahlen eine Primzahl, so kann die andere nur dann teilerfremd sein, wenn sie nicht Vielfaches der Zahl ist.
• Eine einfache Methode, festzustellen, ob große Zahlen teilerfremd sind, ist es, diese in Primfaktoren zu zerlegen. So ergibt sich rasch, dass 6 und 51 nicht teilerfremd sind, denn 51 = 3 x 17.
• Eine wichtige Anwendung der Teilerfremdheit gibt es übrigens noch in der Bruchrechnung: Sucht man den Hauptnenner und sind die Einzelnenner teilerfremd, so ist der Hauptnenner stets das Produkt aus den Einzelnennern. Dies gilt insbesondere bei Primzahlen.