Was sind Primzahlen und wofür braucht man sie?

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Sie ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Als natürliche Zahlen werden alle positiven ganzen Zahlen beschrieben, die größer als 0 sind.

Natürliche Zahlen sind somit mathematisch in zwei Gruppen einteilbar. Primzahlen werden „prim“ genannt, alle anderen sind „zusammengesetzte Zahlen“. Eine Sonderstellung haben lediglich 0 und 1, sie kann man in keine der beiden Gruppen einordnen.

Der Name Primzahl leitet sich vom Lateinischen „numerus primus“ ab, was so viel bedeutet wie „die erste Zahl“.

Anders als man nun vermuten könnte, ist die kleinste Primzahl, aber nicht die 1. Sie wurde von Mathematikern ausgeschlossen, da sie lediglich einen Teiler hat, nämlich sich selbst. Die kleinste Primzahl ist somit die 2. Teilbar durch 2 und durch 1. Damit ist die 2 auch die einzige gerade Primzahl, alle anderen sind ungerade.

Wofür sind Primzahlen zu gebrauchen?

Primzahlen haben eine grundlegende Bedeutung für mehrere fundamentale mathematische Aussagen.

Eine davon ist etwa der Fundamentalsatz der Arithmetik. Dieser besagt, dass jede natürliche Zahl errechnet werden kann, indem zwei oder mehr Primzahlen miteinander multipliziert werden. Beachten Sie hier, dass jede natürliche Zahl nur durch genau eine Multiplikation entstehen kann. Die Primzahlen, aus denen eine natürliche Zahl gebildet werden kann, nennt man auch die Primfaktoren dieser Zahl.

Dieser Fundamentalsatz der Arithmetik lässt sich durch das sogenannte Lemma von Euklid beweisen. Ganz allgemein ist ein Lemma eine mathematische Aussage, die dem Beweis eines mathematischen Satzes dient.

Konkret besagt das Lemma von Euklid, dass, wenn ein Produkt aus zwei natürlichen Zahlen durch eine Primzahl geteilt werden kann, man davon ausgehen kann, dass auch einer der Faktoren durch diese Primzahl teilbar ist.

Auch in vielen anderen mathematischen Formeln und Phänomenen spielen Primzahlen eine Rolle. Dazu gehören beispielsweise der kleine Satz von Fermat, das Legendre-Symbol, der Binomialkoeffizient, die Giuga-Zahlen und verschiedene lineare Rekursionen. Damit haben aber in der Regel nur noch Mathematiker zu tun

Die Geschichte der Primzahlen

Nachdem in Afrika ein Stein gefunden wurde, auf dem die Primzahlen von 10 bis 20 mit Strichen eingeritzt waren, wird vermutet, dass es schon vor rund 30.000 Jahren erste Kenntnisse über diese besondere Form der Zahlen gab. Ganz einig ist man sich jedoch nicht. Sicher überliefert sind hingegen die Ansätze antiker Mathematiker, die sich schon vor über 2.000 Jahren wissenschaftlich mit der Thematik auseinandersetzten.

Der erste bewiesene Satz, der sich mit der Primzahl beschäftigt, ist der Satz von Euklid. Er entstand rund 300 v. Chr. und besagt, dass es nicht „die größte“ Primzahl gibt. Multipliziert man alle bekannten Primzahlen miteinander und addiert 1 entsteht eine größere Primzahl als die bisher als Größte bekannte. Das Produkt wird zwar schnell riesig und alle Primzahlen kann man so auch nicht ermitteln, da auf diese Weise einige zwischen den Ergebnissen liegende Zahlen übersprungen werden. Aber es ist doch ein Ansatz, der zumindest im Kleinen hilfreich sein kann, Primzahlen zu ermitteln.

Was ist das Sieb von Eratosthenes?

Ein anderer Weg zum Ermitteln der Primzahlen ist das sogenannte Sieb von Eratosthenes. Der griechische Mathematiker fand rund 200 Jahre v. Chr. so eine Möglichkeit, die Primzahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen zu filtern.

Wollen Sie damit arbeiten, schreiben Sie die Zahlen von 1 – 10 in eine Zeile, direkt darunter die Zahlen von 11 – 20, darunter von 21 – 30, usw. bis Sie in der letzten Zeile bei 91 – 100 angekommen sind. Achten Sie darauf, die Zahlen genau untereinander zu schreiben, das macht die Sache übersichtlicher und einfacher.

Außerdem ist es hierbei wichtig, die ersten 5 Primzahlen zu wissen. Die können Sie herausfinden, indem Sie für alle natürlichen Zahlen durch Ausprobieren herausfinden, ob die jeweilige Zahl mehr als zwei Teiler hat. Ist die Zeit knapp oder die Motivation gering – hier eine kleine Hilfe: Die gesuchten Zahlen sind 2, 3, 5, 7 und 11.

1. Nun werden Zahlen gestrichen. Fangen Sie an, alle Vielfachen von 2 zu streichen, sprich alle geraden Zahlen, außer die 2 selbst.
2. Dann streichen Sie alle Vielfachen von 3, rechnen Sie dafür das kleine Dreier 1x1.
3. Anschließend sind alle Vielfachen von 5 an der Reihe, sprich alle Zahlen, die auf 5 oder 0 enden.
4. Dann die Vielfachen der 7 und abschließend alle die der 11, auch hier ist das 1x1 hilfreich.
5. Alle Zahlen, die Sie jetzt noch nicht durchgestrichen haben, sind Primzahlen.

Übersicht Primzahlen

Die Ergebnisse, die Sie mit Hilfe des Siebs von Eratosthenes herausbekommen haben, können Sie hier überprüfen: Die Primzahlen von 1 – 100 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Wie Sie also sehen, Primzahlen sind kein Grund den Kopf in den Sand zu stecken und ist der Grundsatz: “Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und durch 1 teilbar” einmal verinnerlicht, verlieren sie schnell ihren Schrecken. In diesem Sinne – frohes Rechnen!