Volumen vom Dach berechnen - so gehen Sie vor

Das Volumen eines Satteldachs

Die geometrische Figur eines solchen Satteldaches ist ein Prisma. Bei einer realen Aufgabe an einem Haus kennen Sie in den meisten Fällen die Dachneigung, also den Dachneigungswinkel α im Frontseitendreieck. Außerdem werden die Längen des Daches (Firstlänge) l sowie der Schrägseite (Sparrenlänge) s bekannt sein (vgl. Foto 1). Für das Berechnen seien als Beispiel eine Dachneigung von α = 25°, eine Dachlänge von l = 12 m und eine Schräge s = 3 m angenommen:

1. Das Volumen eines Prismas lässt sich leicht berechnen. Es gilt V = Grundfläche x Höhe. Die Grundfläche beim Satteldach ist - wie schon erläutert - ein Dreieck; die Höhe des Prismas ist die Dach- bzw. Firstlänge; somit V = Dreiecksfläche x Firstlänge.
2. Wenn Sie also das Volumen Ihres Daches berechnen wollen, müssen Sie zunächst die Fläche des Dachdreiecks an der Frontseite kennen. Für die Fläche eines Dreiecks gilt F = 1/2 Grundseite x Dreieckshöhe (1/2 g x h als Formel).
3. Leider kennen Sie von dem Dreieck weder die Grundseite g noch die Dreieckshöhe h, sondern nur den Grundwinkel α sowie die Schrägseite s. Hier hilft Schulgeometrie weiter, denn es gilt: sin α = h/s sowie cos α = 1/2 g / s. Daraus berechnen Sie h = s * sin α = 3 m * sin 25° = 1,27 m sowie g = 2s * cos α = 6 m * cos 25° = 5,44 m (wahlweise hätten Sie auch tan oder den Pythagoras benutzen können).
4. Für die Fläche des Frontdreiecks erhalten Sie mit diesen beiden Größen F = g x h = 5,44 m x 1,27 m = 6,91 m² (alle Werte auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet).
5. Für das Volumen des Daches gilt dann: V = Dreiecksfläche x Firstlänge = 6,91 m² x 12 m = 82,92 m³.

Vom Walmdach Volumen berechnen

Das Walmdach besteht aus zwei Pyramiden und einem Prisma. Das Volumen unter dem Walmdach ist also das Volumen des Prismas, plus zweimal das Volumen der Pyramide.

1. Messen die die Höhe des Dachs (h) sowie die Länge (l) und die Breite (b) des Hauses. Sie habe nun die Größen h, l und b aus der Skizze. Befestigen Sie einen Haken an dem Punkt, wo das Giebeldreieck endet, also in dessen Spitze. Binden Sie eine lange Schnur mit einem Gewicht an den Haken. Das Gewicht muss den Boden berühren. Messen die Entfernung von diesem Berührpunkt bis zur Dreiecksunterseite. Sie haben nun die Größe d aus der Skizze.

   

2. Das Volumen einer Pyramide errechnet sich aus Grundfläche x Höhe : 3. Die Grundfläche ist ein Rechteck, mit den Kanten b und d. Demnach hat die Pyramide das Volumen b x d x h : 3. Da sie zwei Pyramiden haben, müssen die das Ergebnis noch mit 2 multiplizieren.
3. Betrachten Sie nun das Prisma, das übrig bleibt, wenn Sie die Pyramiden abtrennen. Es kann als Dreiecksäule, die auf der dreieckigen Grundseite steht, angesehen werden. Die Höhe der Säule entspricht der Hauslänge, von der Sie zweimal die Länge der Pyramidengrundseite abziehen müssen. Also gilt: HöhePrisma = l – 2d. Die Grundfläche des Dreiecks errechnet sich aus Grundseite x Höhe : 2. Die Grundseite ist die Breite des Hauses, die Höhe entspricht der Dachhöhe. Sie haben also: Grundseite x Höhe x HöhePrisma : 2 = b x h x (l-2d): 2.
4. Insgesamt hat das Dach ein Volumen von 2 x b x d x h : 3 + b x h x (l-2d): 2. Klammern Sie b und h aus: bxh (2/3 d + (l-2d)/2).

Sie sehen, es ist nicht schwer, das Volumen unter einem Dach zu berechnen.