Axialschnitt - so berechnen Sie die Körper dazu

Das sind Axialschnitte

• Unter Axialschnitten versteht man senkrecht zur Grundfläche stehende Schnitte, die durch den Mittelpunkt des Körpers gehen, gibt es keine Grundfläche, wie bei einer Kugel, sind es normale Schnitte durch den Mittelpunkt des Körpers.
• Der Axialschnitt einer Kugel ist ein Kreis, der eines Zylinders ein Rechteck, der eines Kegels ein gleichschenkliges Dreieck und der eines Doppelkegels ein Rhombus. Entsprechend bekommen Sie bei einem Kegelstumpf ein Trapez als Axialschnitt. Stellen Sie sich vor, welche geometrische Fläche die Schnittfläche hat, wenn Sie einen Körper senkrecht in zwei Hälften teilen.
• Wenn Sie den Axialschnitt eines runden Köpers um die Symmetrieachse rotieren lassen, bekommen Sie wieder den Körper.

Aus diesen Zusammenhängen gibt es in der Geometrie meist verschiedene Aufgabenstellungen. Meist ist Ihnen eine Zeichnung oder eine Beschreibung der Schnittfläche gegeben, und daraus sollen Sie Volumen und Oberfläche des Körpers berechnen.

Beispielaufgabe zu einem Kegelschnitt

Eine mögliche Aufgabe ist, dass es heißt, ein Glas hätte den Axialschnitt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Grundseite a und einem Öffnungswinkel von alpha. An dieser Beispielaufgabe können Sie leicht das richtige Vorgehen erkennen.

1. Der Öffnungswinkel alpha ist der Winkel alpha, welcher der Grundseite gegenüberliegt. Machen Sie sich zunächst eine Skizze, wenn diese nicht schon in der Aufgabe vorhanden ist.
2. Tragen Sie ein, was gegeben ist.
3. Zeichnen Sie die Höhe h_a auf der Grundseite ein. Sie sehen es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke. Eine Kathete ist a/2, die andere h und de Hypotenuse ist der Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks.
4. Wenden Sie nun die Trigonometrie an. sin alpha = (a/2)/s und tan alfa = (a/s2/h_a um die Schenkellänge s und h_a zu bestimmen.
5. Das Volumen des Kegels ist V_Kegel= 1/3 G h_a. Die Grundfläche G ist ein Kreis mit dem Radius a/2, Sie können also so leicht das Volumen bestimmen. V = 1/3 pi (a/2)² h_a = 1/12 pi a² h_a.

Berechnung der Mantelfläche

• Ist die Mantelfläche gefragt, müssen Sie sich daran erinnern, dass ein Kegel ein Kreisausschnitt als Mantel hat. Die Formel für den Kreisausschnitt ist M_Kegel= alpha_Mantel/360⁰ pi r². r ist die Seite s, die Sie schon ausgerechnet haben.
• alpha_Mantel ergibt sich aus der Tatsache, dass der Umfang der Grundfläche U_G= 2 pi (a/2) = pi a, gleich dem Umfang des Kreisausschnitts ist U_Mantel= alpha_Mantel/180⁰ pi s. Aus diesem Zusammenhang können Sie durch Gleichsetzen und umformen den Winkel alpha_Mantel bestimmen. Dieser ist 180⁰ a/s.
• Somit ist der Mantel M_Kegel= (180⁰ a/s)/360⁰ pi s² =  1/2 pi a s.

Wenn Sie auf diese Art systematisch an Aufgaben mit Axialschnitten herangehen, sind diese nicht schwer zu lösen. Sie müssen nur Schritt für Schritt aus gegeben Größen, die fehlenden bestimmen.