Vektoren zerlegen - Anleitung

Was Sie beim Zerlegen eines Vektors beachten müssen, hängt stark von der Aufgabenstellung ab, die Sie lösen möchten. Beziehen Sie unbedingt alle gestellten Bedingungen mit ein.

So zerlegen Sie einen zweidimensionalen Vektor

Wir betrachten hier einen einfachen Fall, den Sie analog auf komplexere Probleme übertragen können.

1. Gegeben sei der Vektor a=(a₁,a₂). Dieser soll zerlegt werden in zwei Komponenten, die parallel zu den Vektoren b=(b₁,b₂) und c=(c₁,c₂) verlaufen. Dabei sollen keine zwei der Vektoren parallel zueinander sein.
2. Den Vektor a zu zerlegen bedeutet, ihn als Linearkombination der Vektoren b und c darzustellen. Sie suchen daher nach zwei reellen Zahlen s und t, sodass gilt: a = sb + tc.
3. Stellen Sie ein Gleichungssystem aus den einzelnen Koordinatengleichungen auf. Sie erhalten in unserem Fall zwei Gleichungen: a₁ = sb₁ + tc₁ und a₂ = sb₂ + tc₂. Da a, b und c bekannt sind, liegen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten vor. Sie können die Gleichungen nun lösen.
4. Es ergibt sich s = (a₁c₂-a₂c₁)/(b₁c₂-b₂c₁) und t = (a₂b₁-b₂a₁)/(b₁c₂-b₂c₁).
5. Berechnen Sie anhand der Werte der Koordinaten s und t.
6. Nun können Sie die gesuchten Komponenten sb und tc errechnen, indem Sie die Vektoren mit den Werten für s und t multiplizieren.
7. Fertig! Sie haben den Vektor a in zwei zu b und c parallele Komponenten zerlegt.

Ein Beispiel zum besseren Verständnis

Seien a=(8,10), b=(2,4) und c=(1,3). Es gilt (8,10) = s(2,4) + t(1,3).

1. Als Gleichungssystem erhalten Sie 8 = 2s + t und 10 = 4s + 3t.
2. Durch Umstellen gelangen Sie zu s = 7 und t = -6.
3. Dies setzen Sie in die obige Gleichung ein und bekommen a = (14,28) - (6,18) = (8,10). Dies ist offensichtlich richtig, denn 14 - 6 = 8 und 28 - 18 = 10. Sie haben a damit in die gesuchten Komponenten zerlegt.

Lösen Sie andere Aufgaben analog

• Bei Vektoren im Raum gehen Sie genauso vor. In diesem Fall hat Ihr Gleichungssystem drei Gleichungen und vermutlich drei Unbekannte. Sie können es durch geschicktes Umformen lösen. Dies gilt auch für höhere Dimensionen.
• Eventuell sind Ihnen keine zu den gesuchten Komponenten parallele Vektoren gegeben, sondern beispielsweise orthogonale. Beachten Sie dies beim Aufstellen Ihrer ersten Gleichung. Im Fall der Orthogonalität verwenden Sie zum Beispiel das Skalarprodukt. Damit erhalten Sie einen etwas komplizierten Ausdruck anstelle des "sb". Sie fahren dann mit der Rechnung wie gewohnt fort.
• Gerade bei komplexeren Aufgaben empfiehlt es sich, mit einem CAS-System zu arbeiten. Ein guter Taschenrechner kann Ihnen viele Umformungen abnehmen. Prüfen Sie dennoch stets, ob die angegebenen Lösungen sinnvoll sind - auch Maschinen sind nicht unfehlbar.