Punktprobe bei Vektoren

In einem dreidimensionalen Koordinatensystemen können Sie Geraden oder Ebenen mithilfe von Vektoren beschreiben. Für eine Gerade benötigen Sie einen Aufpunkt A sowie einen Richtungsvektor r. Eine Ebene ist gegeben durch einen Aufpunkt A sowie zwei Vektoren r und s, die die Ebene aufspannen. Bei der Punktprobe sollen Sie prüfen, ob ein Punkt auf dieser Geraden bzw. Ebene liegt. Beachten Sie bitte, dass in der Vektorrechnung der Oberstufe Geraden und Ebenen als Spalten, also untereinander, geschrieben werden (vgl. Abb.). In diesem Artikel ist dies jedoch nicht möglich, es wurde eine Zeilenschreibweise vorgenommen. 

Punktprobe für eine Gerade – so geht's

Zunächst müssen Sie die Geradengleichung kennen. Diese wird in Vektorschreibweise angegeben durch einen Aufpunkt A (0/2/-1), der zur Geraden hinführt, und einem Richtungsvektor r = (1/-1/3). Die Gleichung lautet g: (x/y/z) = (0/2/-1) + t * (1/-1/3). Der Buchstabe „t“ steht für den sog. Laufparameter der Geraden. Setzen Sie reelle Zahlen für s ein, und Sie können damit jeden Punkt der Geraden erreichen. Nun sollen Sie überprüfen, ob der Punkt P (-2/5/0) auf dieser Geraden liegt. Die Abb. 1 zeigt schematisch die Situation.

1. Sie gehen bei diesem mathematischen Problem sehr ähnlich vor wie in der Mittelstufe. Um die Punktprobe durchzuführen, setzen Sie den Punkt P mit der Geradengleichung gleich. Es gilt: (-2/5/0) = (0/2/-1) + t * ((1/-1/3).
2. Diese Gleichung besteht aus drei Komponenten, nämlich x, y und z, die Sie einzeln auflösen müssen. Sie erhalten also drei Gleichungen, wobei der Laufparameter t in jeder dieser Gleichungen vorkommt. 
3. Im konkreten Beispiel ergibt sich: (1) -2 = 0 + t; (2) 5 = 2 – t sowie (3) 0 = -1 + 3t.
4. Jede Gleichung lösen Sie nach t auf. Wenn der Punkt P auf der Geraden g liegt, berechnen Sie für alle drei Gleichungen den gleichen Laufparameter. Andernfalls liegt P nicht auf der Geraden.
5. Im gewählten Beispiel erhalten Sie die Werte t₁ = -2, t₂ = -3 und t₃ = 1/3. Der Punkt P liegt also nicht auf g.

Liegt der Punkt P in der Ebene?

Hier müssen Sie auch wieder die Ebenengleichung kennen. Sie besteht in vektorieller Form aus einem Aufpunkt A sowie zwei Richtungsvektoren r und s. Ihre Gleichung lautet zum Beispiel E: (x/y/z) = (-1/2/5) + t * (1/-1/3) + v * (0/0/2). Beachten Sie, dass Sie hier zwei Laufparameter t und v benötigen, um alle Punkte der Ebene zu erreichen. Liegt der Punkt P (-2/5/0) in dieser Ebene E? Die Abb. 2 skizziert die Situation.

1. Die rechnerische Punktprobe ist dem gezeigten Verfahren für die Gerade sehr ähnlich. Sie setzen wieder Ebene E und Punkt P gleich.
2. Lösen Sie die vektorielle Gleichung nach den drei Koordinaten auf und Sie erhalten drei (!) Gleichungen mit den beiden Unbekannten t und v, die Sie lösen müssen.
3. Eine günstige Vorgehensweise ist es, zunächst die beiden ersten Gleichungen nach t und v aufzulösen. Setzen Sie die beiden gefundenen Zahlenwerte für t und v dann in die dritte Gleichung (die z-Koordinate) ein. Überprüfen Sie die Gleichung. Sollte Sie richtig sein, dann liegt P in der gegebenen Ebene E.

Gelernt ist gelernt! Wie Sie gesehen haben, läuft die Punktprobe auf Rechenmethoden hinaus, die Sie bereits aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe kennen. Sie setzen gleich und erhalten ein Gleichungssystem, das Sie überprüfen müssen.

Weiterer Autor: Hannelore Dittmar-Ilgen