Variablenwechsel - Erklärung

Fallbeispiel zum Variablenwechsel

Diese Spielsituation ist typisch für die Chancen beim Variablenwechsel:

• Sie sind Kandidat in einer Quizshow und können zwischen 3 Toren wählen. Hinter einem Tor ist ein Gewinn hinter den anderen sind keine Gewinne.
• Sie müssen also aus 3 möglichen Chancen eine wählen. Klar die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/3, dass Sie das richtige Tor wählen. Angenommen Sie wählen Tor 1.
• Der Moderator öffnet nun Tor 3, hinter diesem befindet sich kein Gewinn. Sie können davon ausgehen, dass der Moderator immer ein Tor öffnen wird, hinter dem kein Gewinn ist. Die Wahl des Moderators, welches Tor er öffnet besagt also scheinbar nichts darüber, ob der Gewinn hinter dem 1. oder dem 2. Tor ist.
• Nun bietet Ihnen der Moderator an, dass Sie sich noch mal umentscheiden können. Sie können nicht einschätzen, ob diese Frage immer gestellt wird, der Moderator Sie mag und Ihnen den Gewinn zuspielen möchte oder ob er will, dass Sie verlieren.
• In der Theorie haben Sie nun eine Chance von 2/3, wenn Sie Tor 2 nehmen. Es ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter Tor 2 ist, wenn Sie wissen, dass er nicht hinter Tor 3 ist.

Das genannte Problem des Variablenwechsels ist auch als Ziegenproblem, Monty-Hall-Dilemma und aus dem Film 21 bekannt.

Berechnen einer bedingten Wahrscheinlichkeit

Ohne Zweifel ist die Wahrscheinlichkeit 1/3 das der Gewinn hinter einem bestimmten Tor ist. P(G₁) = P(G₂) = P(G₃) = 1/3

1. Betrachten Sie nun die Wahrscheinlichkeiten, dass der Moderator das Tor 3 öffnet unter der Bedingung, dass Sie das Tor 1 gewählt haben. Ist der Gewinn hinter Tor 1 wird er entweder Tor 2 oder Tor 3 öffnen. P(M₃/G₁) = 1/2. Ist der Gewinn aber hinter Tor 2, dann  muss er Tor 3 wählen P(M₃/G₂) = 1 und ist der Gewinn hinter Tor 3 kann er dieses nicht wählen P(M₃/G₃) = 0.
2. Nach dem Bayestheorem können Sie nun die Wahrscheinlichkeit P(G₂/M3), dass der Gewinn hinter Tor 2 steckt, wenn der Moderator Tor 3 öffnet, berechnen. Teilen Sie das Produkt von P(M₃/G₂)P(G₂) durch die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten also P(M₃/G₁) P(G₁)+P(M₃/G₂) P(G₂)+P(M₃/G₃) P(G₃) [1*(1/3)/((1/2)*(1/3)+1*(1/3)+0*(1/3)]. Der Zähler beträgt also 1/3 und der Nenner 1/2. (1/3):(1/2) = (1/3)*(2/1) = 2/3.

Das zunächst verblüffende Ergebnis beruht darauf, dass Sie durch die Wahl des Tores 1, die Wahl des Tores des Moderators beeinflusst haben. Ist der Gewinn in dem Tor, das Sie gewählt haben, dann ist der Moderator in seiner Entscheidung frei, ist der Gewinn aber hinter dem anderen Tor, muss er das Tor nehmen, das keinen Gewinn enthält. Die Wahrscheinlichkeit, das er ein Tor nimmt ist 1, wenn der Gewinn nicht hinter dem von Ihnen gewählten Tor ist. Ist der Gewinn hinter dem von Ihnen gewählten Tor, dann ist diese 1/2. Es besteht also die doppelte Wahrscheinlichkeit, dass er ein Tor nimmt, wenn Sie falsch gewählt haben, als wenn Ihre erste Wahl richtig war. 

Variablenwechsel und die Gewinnwahrscheinlichkeit

Sie dürfen nicht davon ausgehen, dass Sie nun eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 auf den Gewinn haben, denn Sie dürfen eines nicht vergessen.

• Durch die Möglichkeit sich nach der Wahl des ersten Tores neu zu entscheiden, ändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit. Sofern der Moderator willkürlich ein Tor aufdeckt, bedeutet das: Bei der ersten Wahl haben Sie die Chance von 1/3 richtig zu wählen und bei der Zweiten eine Chance von 1/2. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit also 1/3*1/2 = 1/6= 3/18.
• Sofern der Moderator immer das Tor aufdeckt, in dem nicht der Gewinn ist, gilt: Bei der ersten Wahl haben Sie weiter eine Chance von 1/3, aber bei der Zweiten ist die Wahrscheinlichkeit auf den Gewinn 2/3, wenn Sie wechseln und 1/3 wenn Sie nicht wechseln. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann also 1/3*2/3 = 2/9=4/18 beim Wechsel und 1/3*1/3=1/9=2/18, wenn Sie nicht wechseln.

Dieser Umstand wird bei den meisten Ausführungen zu dem Thema Variablenwechsel nicht erwähnt.