Schnittpunkt zweier Tangenten berechnen - so wird's gemacht

Tangenten sind auch nur Geraden

• Sie haben für eine gegebene Funktion zwei Tangenten berechnet und sollen nun den Schnittpunkt dieser beiden bestimmen. Auch wenn diese Aufgabe zunächst schwierig aussieht: Lassen Sie sich nichts vormachen, denn es handelt sich um nichts weiter, als den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen. 
• Tangenten, auch wenn sie gewisse Bedingungen bzgl. der Funktion erfüllen, sind nichts weiter, als Geraden der Form y = mx + b. Hat man zwei unterschiedliche Tangenten, so liegen beide in dieser Form vor.
• Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen Sie, indem Sie die beiden Geraden gleichsetzen (Schnittpunkt-Bedingung) und den x-Wert des Schnittpunktes aus dieser Gleichung ausrechnen.
• Den y-Wert des Schnittpunktes erhalten Sie, indem Sie den gewonnenen x-Wert in eine der beiden Tangentengleichungen einsetzen. Die andere Gleichung kann für Probezwecke verwendet werden.
• Aber Achtung: Sind die beiden Tangenten parallel (gleiche Steigung), gibt es selbstredend keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Geraden - ein durchgerechnetes Beispiel

Die Vorgehensweise soll an einem Beispiel ausführlich gezeigt werden. Hierfür seien die beiden Tangenten (Geraden) y = 3x + 2 und y = -2x + 5 gegeben. Diese beiden Geraden sind nicht parallel, haben also im zweidimensionalen Raum einen Schnittpunkt.

1. Setzen Sie die beiden Geraden gleich. Sie erhalten 3x + 2 = -2x + 5.
2. Diese Gleichung müssen Sie nun lösen. Sie bringen -2x (durch Addieren) auf die linke Seite und erhalten 5x + 2 = 5. Nun bringen Sie +2 (durch Subtrahieren) auf die rechte Seite. Es folgt 5x = 3 und durch Teilen lösen Sie x = 3/5 = 0,6 als x-Wert des Schnittpunktes der beiden Tangenten.
3. Diesen berechneten Wert setzen Sie nun in eine der beiden Tangentengleichungen ein. Es folgt y = 3x + 2 = 3*0,6 + 2 = 1,8 + 2 = 3,8. Der Schnittpunkt ist also S (0,6/3,8).
4. Die Probe mit der anderen Tangentengleichung zeigt 3,8 = -2*0,6 + 5 = -1,2 + 5 = 3,8. Der Schnittpunkt zweier Geraden wurde also richtig berechnet.

Übrigens: Erinnert Sie die Vorgehensweise an etwas? Es handelt sich bei dem Rechenverfahren um nichts anderes als zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten x und y, das Sie in diesem Fall mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.