Pfadadditionsregel - so berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten

Pfade in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Viele Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung, egal, ob Sie einen Würfel werfen, Karten ziehen oder Kugeln aus Urnen holen, lassen sich in einem sogenannten Baumdiagramm darstellen.

• Dabei handelt es sich um eine Art Verzweigungsdarstellung, in der alle Möglichkeiten, wie das von Ihnen betrachtete Zufallsexperiment ausgeht, dargestellt werden.
• Jede Möglichkeit für das Experiment ist dabei ein Pfad durch dieses Baumdiagramm.
• Meist schreiben Sie für das jeweilige Zufallsexperiment an den entsprechenden Pfad noch die Wahrscheinlichkeit, dass genau dieser Pfad angenommen wird. 

Pfadadditionsregel und Pfadmultiplikationsregel - einfach erklärt

Wie Sie aus dem Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse berechnen können, ergibt sich aus zwei sehr wichtigen Regeln in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nämlich der Pfadmultiplikationsregel und der Pfadadditionsregel.

• Die Multiplikationsregel, bei der sich Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, gilt für Und-Ereignisse. Beispielsweise soll die gezogene Karte "Karo" sein und (!) eine Dame zeigen. In diesem Fall multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse.
• Die Pfadadditionsregel, bei der sich Wahrscheinlichkeiten addieren, gilt für Oder-Ereignisse. Soll zum Beispiel eine gezogene Karte ein Ass oder (!) eine Dame sein, so müssen Sie für die Wahrscheinlichkeit dieses kombinierten Ereignisses die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Ass zu ziehen, zu der Wahrscheinlichkeit, eine Dame zu ziehen, addieren.
• Die Pfadmultiplikationsregel gilt - bei mehrstufigen Versuchen - meist entlang eines Pfades im Baumdiagramm.
• Die Pfadadditionsregel gilt, egal ob ein- oder mehrstufiger Versuch, für mehrere Pfade, die auf das gesuchte Ereignis zutreffen.

Pfadadditionsregel - ein einfaches Beispiel

Das einfachste Beispiel für ein Zufallsexperiment ist das Werfen eines Würfels. Dabei tritt jede der Augenzahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 auf (wenn der Würfel nicht gerade "gezinkt" ist).

• Zeichnen Sie dieses Experiment als Baumdiagramm, so hat es nur eine Stufe, wenn Sie einmal würfeln. Das Baumdiagramm wird größer und entsprechend verzweigter (hat also mehrere Stufen), wenn Sie noch einmal oder mehrere Male hintereinander würfeln. 
• Ein Oder-Ereignis könnte hier lauten: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine "1" oder (!) eine "6" zu würfeln? Sie addieren einfach die Wahrscheinlichkeiten für die Einzelereignisse "1" und "6" nach der Pfadadditionsregel zu p = 1/6 + 1/6 = 1/3.