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Minus-Klammern auflösen - so machen Sie es richtig

Autor: Roswitha Gladel

Inhaltsverzeichnis

Lösen Sie Klammern mit System auf.
Lösen Sie Klammern mit System auf.
Das Auflösen von Minus-Klammern scheint für viele ein unüberwindliches Problem zu sein, noch schlimmer ist es, wenn diese Klammern auf den ersten Blick nicht zu sehen sind. So beherrschen Sie die Rechnung bald sicher.

Auflösen von Klammern

Gehen Sie davon aus, dass Klammern immer eine Bedeutung haben und üblicherweise nicht in einer Rechnung stehen, weil sie eine schmückende Funktion haben.

  • Eine Klammer hat immer die Bedeutung, dass diese als Gesamtheit betrachtet werden muss. Daraus folgt, dass mit jedem Glied in der Klammer das geschehen muss, was das Zeichen vor der Klammer verlangt. Beispiel: 6+3(x+3) bedeutet, dass zu der Zahl 6 das dreifache Ergebnis der Rechnung von x+3 addiert werden soll.
  • Da Sie x+3 nicht ausrechnen können, erinnern Sie sich an das Distributivgesetz. Zur Verdeutlichung: 3*(6+3) = 3*9=27. Es gilt auch 3*6+3*3=18+9=27. Demnach können Sie statt 3(x+3) auch 3x+3*3 = 3x+9 schreiben. 6+3(x+3) = 6+3x+9=15+3x.
  • Bei einer Minus-Klammer steht vor der Klammer ein Minuszeichen. Zum Beispiel -(x+3). Das ist kein Grund, in Panik zu geraten. Mathematiker sind ein wenig schreibfaul und lassen gerne Sachen weg, die nicht geschrieben werden müssen, weil sie selbstverständlich sind: -(x+3) = (-1) (x+3). Wenn Sie also diese Klammer auflösen müssen, ist es wie im Beispiel zuvor, Sie müssen jeden Summanden mit -1 multiplizieren: (-1)(x)+(-1)*3=-x-3.
  • In einer Aufgabe kann Ihnen zum Beispiel so etwas begegnen: 8x - 2(x+4). Betrachten Sie das als 8x + (-2)(x+4). In der Schreibweise sehen Sie, dass Sie alle Summanden mit -2 multiplizieren müssen. Sie haben also 8x + (-2x) + (-2*4). Gehen Sie einfach systematisch vor: + (-2x) = - 2x und + (-2*4) = -8. Also ist  8x + (-2)(x+4) = 8x-2x-8 = 6x-8.
  • Wenn es Ihnen leichter fällt, können Sie auch in 2 Schritten auflösen: 8x - 2(x+4). Bringen Sie erst die 2 in die Klammer: 8x-(2x+8). Bringen Sie dann die -1 in die Klammer, dabei drehen sich alle Rechenzeichen um: 8x-2x-8 = 6x-8.

Versteckte Minuszeichen in Aufgaben

Eigentlich ist das Minuszeichen nicht versteckt, aber oft wird der Zusammenhang zur Klammer nicht erkannt. Achten Sie auf folgende "Fallen".

  • Multiplikation von Klammern: (x-3)(2x-7). Beim Auflösen dieser Klammer wird oft übersehen, dass alle Summanden in der hinteren Klammer mit -3 multipliziert werden müssen, nicht mit 3. Es heißt also: x*(2x) + x*(-7) + (-3)*(2x)+(-3)*(-7). Sie bekommen aus x*(2x)= 2x2, aus x*(-7)= -7x, aus (-3)*(2x) = -6x und aus (-3)*(-7)= +21. Das Ergebnis lautet also: 2x2-7x-6x+21 = 2x2-13x + 21.
  • Brüche mit Minus: Bei Brüchen wird oft übersehen, dass ein Minuszeichen vor dem Bruch bedeutet, dass beim Auflösen entweder der Zähler oder der Nenner mit -1 multipliziert werden muss. Beispiel: -(x+3)/(x+5)=(-x-3)/(x+5) oder -(x+3)/(x+5)=(x+3)/(-x-5). Falsch ist es, wenn Sie (-x-3)/(-x-5) rechnen.

Das müssen Sie unbedingt unterscheiden

Beim Auflösen von Klammern ist es manchmal schwer, Rechenzeichen und Vorzeichen zu unterscheiden.

  • -7-3 bedeutet, dass von der Zahl -7 (Vorzeichen) die Zahl +3 subtrahiert wird. Wenn Sie in dem Zusammenhang -3 als Vorzeichen sehen würden, gäbe es kein Rechenzeichen. Da ein positives Vorzeichen meistens nicht geschrieben wird, gibt es nur eine Möglichkeit, wie Sie -7-3 interpretieren können, als (-7) - (+3).
  • Wenn Sie den Ausdruck (-7)(-3) sehen, dann wird die Zahl -7 (Vorzeichen) mit der Zahl -3 (Vorzeichen) multipliziert, denn zwischen zwei Klammern steht immer ein *, wenn kein anderes Rechenzeichen gegeben ist.
  • 4x - x bedeutet 4*x - x, da Punkt- vor Strichrechnung gilt, dürfen Sie nicht x-x=0 rechnen. Aber x ist auch immer 1*x. Also ist 4x - x = 4*x-1*x=x*(4-1)=x*3=3x. Das – ist ein Rechenzeichen.
  • 4x(-x) dagegen bedeutet, dass 4x*(-x) gerechnet werden muss, denn wenn ein Platzhalter und eine Klammer ohne andere Rechenzeichen zusammen stehen, ist immer eine Multiplikation auszuführen: 4x(-x)=4*x*(-1)*x=-4 x2.
  • Wenn Sie Klammern auflösen, ist es manchmal zwar etwas mühsam und auch nicht besonders schön, wenn Sie einfach als Rechenzeichen immer ein Plus annehmen und jedes Minus als Vorzeichen betrachten: 6x - 3(2x-3) = 6x + (-3)(2x + (-3)) Rechnen Sie dann  6x + (-3)*2x + (-3)(-3) = 6x + (-6x) + 9), da (-3)(-3) positiv ist. Das Rechenzeichen + und das Vorzeichen - bei +(-6x) können Sie tauschen zum Rechenzeichen - und Vorzeichen +. Also gilt: 6x+(-6x)+9 = 6x - (+6x) + 9 = 6x-6x+9=9.

Das sind typische Stolperfallen beim Auflösen von Klammern.

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