Das Quadrat einer Matrix - so gelingt die Berechnung

Die Multiplikation einer Matrix mit sich selbst

• Für Rechenoperationen mit Matrizen gelten spezielle Regeln. So genügt es nicht, die Quadrate der einzelnen Elemente zu bilden, um das Quadrat der Matrix zu erhalten.
• Generell können Sie zwei Matrizen miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Da eine zu quadrierende Matrix mit sich selbst multipliziert wird, muss die Zeilenanzahl mit der Spaltenanzahl übereinstimmen. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, können Sie das Quadrat der Matrix nicht ermitteln.
• Für die Multiplikation von Matrizen hat sich das Falksche Schema bewährt, das Sie auch für die Berechnung des Quadrats einer Matrix nutzen können.
• Matrizen kennzeichnet man durch große Buchstaben. Das Quadrat der Matrix A ist demzufolge A².

So ermitteln Sie das Quadrat nach dem Falkschen Schema

1. Teilen Sie Ihren Schreibbereich durch eine senkrechte und eine waagerechte Linie in vier Abschnitte. Schreiben Sie die Matrix einmal in den oberen rechten und einmal in den unteren linken Abschnitt.
2. Im unteren rechten Bereich entwickeln Sie das Quadrat der Matrix, welches wiederum eine Matrix ist. Dabei müssen Sie für jedes Feld der Ergebnismatrix mehrere Multiplikationen ausführen und die Ergebnisse addieren. In die Berechnungen beziehen Sie immer die Zeile und Spalte ein, die dem jeweiligen Feld zugeordnet ist. Welche das sind, können Sie mithilfe des aufgeschriebenen Schemas gut erkennen.
3. Für das Feld in der ersten Zeile und Spalte der Ergebnismatrix multiplizieren Sie zunächst den ersten Wert der ersten Zeile mit dem ersten Wert der ersten Spalte, also mit sich selbst. Danach multiplizieren Sie den zweiten Wert der ersten Zeile mit dem zweiten Wert der ersten Spalte, den dritten Wert der ersten Zeile mit dem dritten Wert der ersten Spalte und so weiter, je nachdem wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. Addieren Sie alle diese Produkte und tragen Sie das Ergebnis in das Ergebnisfeld ein.
4. Ermitteln Sie nun den Wert für das Feld in der ersten Zeile und zweiten Spalte der Ergebnismatrix. Dazu multiplizieren Sie den ersten Wert der ersten Zeile mit dem ersten Wert der zweiten Spalte, danach den zweiten Wert der ersten Zeile mit dem zweiten Wert der zweiten Spalte, dann den dritten Wert der ersten Zeile mit dem dritten Wert der zweiten Spalte und so weiter, und addieren Sie diese Ergebnisse wieder.
5. Wenden Sie dieses Prinzip für alle Felder der Ergebnismatrix an. Sie multiplizieren immer nacheinander die Werte der zu dem Feld gehörigen Zeile mit denen der zugehörigen Spalte und addieren die Ergebnisse.