Mathe - das Rätsel der Keksdose lösen

Das Rätsel um die Keksdose

Hier soll folgendes Mathematikrätsel behandelt werden: In einer verführerisch duftenden Keksdose hat eine Mutter eine bestimmte Anzahl von Plätzchen aufbewahrt. Die Tochter entnimmt (heimlich?) zwei dieser Kekse und vom Rest ein Drittel. Dann kommt der Sohn und nimmt ebenfalls zwei Kekse sowie ein Drittel des Restes. Zu guter Letzt ist auch noch der Vater eine Naschkatze. Er genehmigt sich zwei Kekse und wieder vom Rest den dritten Teil. Als die Mutter abends in die Dose schaut, wundert sie sich. Denn es sind nur noch 20 Plätzchen drin.

So lösen Sie das Rätsel mathematisch

Natürlich ist die Frage bei diesem Rätsel, wie viele Kekse die Mutter anfangs in die Keksdose hineingelegt hatte.

1. Bezeichnen Sie diese gesuchte Anzahl als Unbekannte x.
2. Nun gehen Sie der Reihe nach die einzelnen "Übeltäter" durch und schreiben als Term auf, wie viele Kekse nach ihrer Tat noch in der Dose sind. Aber Vorsicht, hier gibt es einige Klammern, da sich die nachfolgenden Taten ja immer auf den Inhalt der vorherigen beziehen.
3. Die Tochter entnimmt zunächst zwei Kekse, dann sind noch x - 2 drin. Von diesem Rest nimmt sie noch 1/3, also sind noch 2/3 drin. Sie erhalten (x-2)*2/3 als Rest, wenn die Tochter geht.
4. Der Sohn nimmt von diesem Rest wieder zwei Kekse. Es verbleiben [(x-2)*2/3] - 2. Davon nimmt er 1/3, es verbleiben also wieder 2/3. In der Dose befinden sich dann als Rest { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3.
5. Nun greift der Vater zu, zunächst müssen Sie wieder zwei Kekse abziehen und erhalten { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3 - 2. Und von diesem Ausdruck verbleiben ebenfalls wieder 2/3.
6. Am Ende befinden sich also ( { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3 - 2 ) * 2/3 Kekse in der Dose.
7. Was für ein Glück, dass die Mutter nun kommt und feststellt, dass es gerade noch 20 Stück sind. Sie setzen also ( { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3 - 2 ) * 2/3 = 20 und erhalten eine Gleichung, die Sie nun durch Auflösen der Klammern nach und nach bewältigen können.
8. Zunächst dividieren Sie die Gleichung durch 2/3 (mit Kehrwert 3/2 multiplizieren!) und erhalten { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3 - 2 = 20 * 3/2 = 30. Die äußere Klammer entfällt.
9. Sie addieren 2 und erhalten die Gleichung { [(x-2) * 2/3] - 2 } * 2/3 = 32.
10. Sie dividieren wiederum durch 2/3 und addieren anschließend 2. Die Gleichung lautet jetzt [(x-2) * 2/3] = 50.
11. Hieraus folgt x - 2 = 75 und x = 77.

Die Anzahl der verführerischen Plätzchen war also am Anfang 77. Die Probe zeigt für die Tochter 77 - 2 = 75, davon 25 weg = 50. Für den Sohn gilt dann 50 - 2 = 48, davon 16 weg = 32. Für den Vater ergibt sich 32 - 2 = 30, davon 10 weg = 20. Und diese 20 findet die Mutter am Ende. Die Berechnung ist also nicht nur mathematisch richtig, sondern entspricht auch der Rätselaufgabe.