Gleichungen mit Brüchen lösen – so geht's

Gleichungen mit Brüchen - das sollten Sie wissen

Grundsätzlich sind Gleichungen, in denen Brüche auftauchen, nicht anders zu rechnen als Gleichungen, die nur ganze Zahlen beinhalten. Es gelten die üblichen Regeln.

• Allerdings macht es vielen, auch geübten Schülern immer wieder Schwierigkeiten, mit Brüchen zu rechnen, da dort addiert (Hauptnenner finden), multipliziert (große Zahlen) und dividiert (Umkehrbruch) werden muss.
• Hier bieten sich zwei Lösungsstrategien an. Zum einen kann man alle auftauchenden Brüche mit dem Taschenrechner in Dezimalzahlen umwandeln. Allerdings ist diese Methode bei Lehrern nicht so beliebt und bei periodischen Dezimalbrüchen muss natürlich gerundet werden. Das Ergebnis kann also ungenau werden und das führt in der Mathearbeit häufig zu Punktabzug. Zudem ist diese Methode ungünstig, wenn Sie keinen Taschenrechner benutzen dürfen.
• Sie können aber auch den Hauptnenner aller in der Gleichung auftauchenden Brüche suchen und die gesamte Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizieren. Wenn Sie nicht genau wissen, wie Sie den Hauptnenner ermitteln, können Sie auch einfach alle Nenner der auftauchenden Brüche multiplizieren und die Gleichung mit dieser (oft leider großen) Zahl multiplizieren. Mit diesem Trick beseitigen Sie die Brüche in der Gleichung; es treten so nur noch ganze Zahlen auf, die allerdings manchmal recht groß sind.

Ein Beispiel mit Dezimalzahlen

Als Beispiel für die erste Methode soll die Gleichung 1/2 x - 2 = 1/3 x + 4 dienen.

1. Zunächst wandeln Sie die beiden vorkommenden Brüche in Dezimalzahlen um und erhalten 1/2 = 0,5 und 1/3 = 0,333 (gerundet auf drei Stellen hinter dem Komma).
2. Die Gleichung lautet nun: 0,5 x - 2 = 0,333 x + 4
3. Nun rechnen Sie nach den üblichen Regeln zum Auflösen von Gleichungen, also 0,167 x = 6.
4. Sie erhalten die (allerdings nicht genaue) Lösung x = 35,93. Es ist daher zu vermuten, dass x = 36 die richtige Lösung ist. Eine Probe bestätigt das. Das Beispiel zeigt die Grenzen dieser Methode deutlich auf - nur im Notfall sollten Sie so verfahren.

Gleichungen mit Hauptnenner lösen - so geht's

Für die zweite Methode, also einen Hauptnenner für die Gleichung zu suchen, sei das Beispiel 3/4 x -1/4 = 4/5 x gewählt.

1. Als Nenner treten hier die Zahlen 4 und 5 auf, der Hauptnenner ist einfach 20.
2. Sie multiplizieren die gesamte Gleichung, also alle drei auftretenden Terme, mit 20 und erhalten: 15 x - 5 = 16 x. Beim ersten Term 3/4 x beispielsweise rechnen Sie 3/4 mal 20 = 60 : 5 = 15 oder 20 : 4 (der Nenner) = 5 x 3 =15. 
3. Diese Gleichung ist leicht zu lösen; Sie erhalten x = -5 als Lösung.

Bitte verwechseln Sie Gleichungen mit Brüchen, also Gleichungen, in denen Bruchzahlen auftreten, nicht mit Bruchgleichungen, in denen auch die Unbekannte x in Brüchen vorkommt (z.B.15/x). Für jene gibt es andere, jedoch kompliziertere Lösungsverfahren.