Lineare Unabhängigkeit von Funktionen - so geht's

Auch Funktionen können linear unabhängig sein

Neben den Ihnen bekannten Vektoren des zwei- oder dreidimensionalen Raums gibt es weitere Mengen, die die Bedingungen eines Vektorraums erfüllen. Ein Beispiel sind alle stetigen Funktionen über den reellen Zahlen R. (Dabei müssen Sie zum weiteren Verständnis nicht unbedingt wissen, wie die Bedingungen für einen Vektorraum lauten.)

• Lineare Unabhängigkeit bedeutet im funktionellen Zusammenhang, dass die Menge der Funktionen f_i den gesamten Funktionenraum aufbaut bzw. eine komplette Teilmenge von diesem. Sprich: Jede noch so beliebige Funktion lässt sich als Linearkombination dieser Grundfunktionen f_i darstellen. 
• Genauso, wie Sie eine Menge von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen können, ist dies auch mit einer Menge von Funktionen möglich. Vereinfacht gesagt ist eine Menge von Funktionen f_i dann linear unabhängig, wenn Sie keine dieser Funktionen als Linearkombination der anderen Funktionen darstellen können.
• Mathematisch gilt für lineare Unabhängigkeit, dass die Gleichung ∑ a_i * f_i = 0 nur dann erfüllt werden kann, wenn alle (!) reellen Koeffizienten a_i = 0 sind. Dieser letzte mathematische Ausdruck ist gleichzeitig ein Prüfkriterium für die Funktionenmenge f_i. Letztendlich müssen Sie also, genauso wie bei Vektoren, eine Gleichung mit den Unbekannten a_i untersuchen.

Lineare Unabhängigkeit - Beispiele

• Ein oft gewähltes Beispiel für eine Menge von stetigen Funktionen über R, die linear unabhängig sind, ist f₁(x) = x², f₂(x) = e^x und f₃(x) = e^-x. Schon eine Vorüberlegung zeigt, dass sich keine dieser drei Funktionen durch die beiden verbliebenen ausdrücken lässt. Grob gesagt sind die gegebenen Funktionen einfach zu unterschiedlich. Auch die Gleichung a₁x² + a₂e^x * a₃e^-x = 0 lässt sich nur lösen, wenn alle Koeffizienten a_i = 0 sind.
• Die beiden Funktionen f₁(x) = sin 2x, f₂(x) = sinx * cos x sind jedoch linear abhängig, denn die Funktion des doppelten Winkels können Sie mit Hilfe einer Formel in die zweite Funktion überführen. 
• Die (unendliche) Menge der Funktionen f_i(x) = xⁱ, wobei der Index i die Zahlen 0,1,2... durchläuft, bildet übrigens eine linear unabhängige Basis des Vektorraums der ganzrationalen Funktionen. Auch die lineare Unabhängigkeit von f_i lässt sich leicht einsehen. Einen möglichen Beweis bietet die sogenannte  Wronski-Determinante.