Allgemeine Sinusfunktion - so bestimmen Sie Koeffizienten

Veränderungen der Sinusfunktion durch die Koeffizienten

Die allgemeine Sinusfunktion hat die Funktionsgleichung f(x)=a sin (bx+c)+d. Verdeutlichen Sie sich, welche Wirkungen die Parameter a, b, c und d auf die Funktion f(x)=sin x haben.

• Der Graph der Funktion f(x)= geht durch die Punkte (0, 0), (0,5pi/1), (pi/0), (1,5pi/-1), (2pi/0) und so weiter. Er schwingt also um die x-Achse mit einer Amplitude von 1. Anders ausgedrückt: Die Hochpunkte haben den y-Wert 1, die Tiefpunkte den Wert -1. Der Parameter a bestimmt die Amplitude, der y-Wert der normalen Sinusfunktion wird also mit a multipliziert.
• Wie Sie an der Normalform sehen können, beträgt die Periode der Funktion 2pi. Der Parameter b ändert diese Periodenlänge. Angenommen, der Wert von b wäre 2, dann wird der Wert von 2pi schon erreicht, wenn x=pi ist. Aus der Periode p=2pi wird also eine Periode von p=2pi/b.
• Betrachten Sie nun die Veränderung, die durch c verursacht wird. f(x)=sin (x+c). Wenn Sie nun für sich die Hochpunkte, die Tiefpunkte und die Durchgänge durch die x-Achse ansehen, werden Sie feststellen, dass diese sich um den Parameter c verschieben. Statt (0,0) haben Sie den Punkt (-c,0). Für die Funktion f(x)=sin (b x + c) ist die Verschiebung -c/b.
• Jetzt untersuchen Sie noch, welche Auswirkungen der letzte Koeffizient d hat. Auch das erkennen Sie recht gut, wenn Sie die genannten speziellen Punkte betrachten. (0,0) wird zu (0,d), (0,5pi,1) zu (0,5pi,1+d). Die Achse, um die der Graph schwingt, ist also um d verschoben.

Parameter der allgemeinen Funktion bestimmen

1. Betrachten Sie die y-Werte des Hochpunktes und des Tiefpunktes. Genau in der Mitte der beiden Werte befindet sich die Achse, um die die Funktion schwingt. Angenommen, Sie haben H(x/4) und T(x/-1), dann ist die Mitte bei  0,5(4+(-1))=1,5. Die Achse liegt also bei 1,5. Daraus folgt, dass d=1,5 ist.
2. Die normale Amplitude ist 1, die Kurve schwingt von 1 bis -1, in dem Fall schwingt die Kurve von 4 bis -1, die Amplitude ist also 0,5(4-(-1))=2,5, der Koeffizient a ist a=2,5.
3. Untersuchen Sie nun die Periode, also die Länge zwischen zwei nebeneinanderliegen Durchgängen durch die Schwingungsachse. Angenommen, diese Länge wäre 2pi. Die übliche Länge wäre aber pi, also ist der Parameter b= 2pi/pi = 2. Teilen Sie den Abstand zwischen zwei Nulldurchgängen einfach durch pi.
4. Jetzt brauchen Sie den Abstand zwischen dem ersten Schnittpunkt mit der Schwingungsachse und zu x=0. Dieser Abstand ist c/b. Da b bekannt ist, können Sie daraus c errechnen.

Mit etwas Übung können Sie die Parameter der allgemeinen Funktion ohne große Rechnungen ermitteln.