Diagonale berechnen - so geht's beim Quader

Was ist die Diagonale im Quader?

Die Diagonale im Quader, auch Raumdiagonale genannt, erstreckt sich von einer Ecke der Grundfläche zur gegenüberliegenden Ecke der Deckfläche. Da die Grundfläche vier verschiedene Ecken besitzt, hat auch der Quader vier verschiedene Raumdiagonalen, die aber aufgrund der Symmetrie gleich lang sind.

• Zeichnen Sie sich zunächst einen Quader auf ein kariertes Blatt Papier. Stricheln Sie dabei die Linien, die für den Betrachter nicht erkennbar sind.
• Beschriften Sie die Seiten des Quaders mit a,b und c (der Buchstabe a steht dabei für die Länge, b für die Breite und c für die Höhe des Quaders) und die Ecken der Grundfläche entgegen des Uhrzeigersinns mit A,B,C,D. Die Ecken der Deckfläche bezeichnen Sie analog mit A',B',C',D'.
• Für das folgende Berechnen der Raumdiagonale benötigen Sie den Satz des Pythagoras. Dieser gilt nur im rechtwinkligen Dreieck und lautet: a²+b² = c²
• .Rechtwinklige Dreiecke finden Sie in Ihrem Quader zur Genüge.

Das Berechnen der Diagonale - so gelingt's

• Zeichnen Sie die Diagonale der Grundfläche von B nach D ein. Das Dreieck ABD ist rechtwinklig und hat die Seiten a,b und die Diagonale der Grundfläche als Seite. Sie können daher den Satz des Pythagoras anwenden. Es gilt also a²+b² = d_g²
• Dann denken Sie sich Ihren Quader im Schnitt. Auch die Raumdiagonale vom Punkt B der Grundfläche zum Punkt D' der Deckfläche, die Diagonale der Grundfläche und die Seite c bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt also d_g²+c² = d_r² oder auch a²+b²+c² = d_r². Ziehen Sie nun noch die Wurzel auf beiden Seiten und Sie sind fertig.
• Beispiel: Nehmen Sie an die Seiten sind mit a = 3cm, b = 4cm und c = 5cm gegeben. Dann ist d_g² = a²+b² = (3cm)²+(4cm)² = 25cm² <=> d_g = 5cm. Für d_r gilt dann d_r² = d_g²+c² = (5cm)²+(5cm)² = 50cm². Die Raumdiagonale ist damit Wurzel 50cm² lang.

Die Raumdiagonale eines Quaders zu berechnen, ist wirklich ganz einfach. Üben Sie dies an weiteren Zahlenbeispielen und Sie werden es recht schnell beherrschen.