Faktorisieren - Erklärung, wie es mit der Polynomdivision funktioniert

Zum Lehrplan in der Mittelstufe gehört auch die Polynomdivision und damit  auch das Faktorisieren. Hat man dessen Prinzip dank einer guten Erklärung einmal verstanden, ist das Faktorisieren aber relativ leicht durchzuführen.

Die Erklärung der Polynomdivision

• Bei einer Polynomdivision wird ein Polynom durch ein anderes Polynom geteilt. Ordnen Sie die Polynome am Beginn erst mal so, dass die Variable mit der höchsten Potenz am Anfang eines Polynoms steht und die Variable oder Zahl mit der niedrigsten Potenz am Ende.
• Dann beginnt man mit dem Faktorisieren. Man überlegt, wie oft das eine Polynom in das andere hineinpasst. Das ist mit Polynomen nicht so einfach wie bei Zahlen. Um es sich leichter zu machen, stellen Sie sich die Frage: "Mit was muss man die erste Variable des Divisors malnehmen, um die erste Variable des Dividenden zu erhalten?"
• Den Wert, der dabei herauskommt, multiplizieren Sie nacheinander mit den Variablen und Zahlen des Divisors und schreiben diese Werte unter die ersten beiden Variablen des Dividenden.
• Dann subtrahieren Sie diese Werte von den ersten zwei Variablen des Dividenden. Dadurch kommt als Ergebnis ein neues Polynom heraus. Zu diesem Polynom fügen Sie die dritte Zahl oder Variable des ursprünglichen Dividenden inklusive Vorzeichen hinzu.
• Dieses ganze Polynom teilen Sie dann wieder durch den Divisor, wie vorhergehend beschrieben.
Sie wiederholen diesen Vorgang mit allen Variablen und Zahlen des ursprünglichen Dividenden. Am Ende kommt bei der Subtraktion entweder eine Null heraus oder das Ergebnis hat einen Restwert.

Das Faktorisieren anhand eines Beispiels

1. Wir nehmen als Beispiel die Aufgabe  (x³+6x²+3x-10) : (x+5)
2. Wie oft passt (x+5) in x³? Sie überlegen, mit was man x multiplizieren muss, um x³ zu erhalten. x multipliert mit x² ergibt x³. x² ist also das erste Glied des Ergebnisses.
3. Nun multiplizieren Sie dieses Glied mit dem Divisor. x² multipliziert mit 5 ergibt 5x² und x² multipliziert mit x ergibt x³. Die Variable mit der größten Potenz steht immer am Anfang, also schreiben Sie unter den Dividenden x³+ 5x².
4. Subtrahieren Sie diesen Dividenden dann von dem ursprünglichen. ( x³+6x²) geteilt durch (x³+5x²) ergibt x². Zu diesem Polynom fügen Sie noch die nächsten Variablen des ursprünglichen Dividenden (3x-10) hinzu. 
5. Teilen Sie dann (x²+3x-10) durch (x+5) auf dieselbe Weise wie unter Punkt 2. Als Ergebnis erhalten Sie dann x. Das ist das zweite Glied des Ergebnisses. Nun wird, wie unter Punkt 3, zurückmultipliziert. x multipliziert mit (x+5) ergibt (x²+5x). Dies schreiben Sie unter den vorhergehenden Dividenden und führen wieder die Subtraktion durch. (x²+3x-10) minus (x²+5x) ergibt (-2x-10).
6. (-2x-10) wird nun wieder durch (x-5) geteilt. Ergebnis ist -2. -2 ist also das dritte Glied des Ergebnisses. Rückmultipliziert kommt (-2x-10) heraus. Bei der Subtraktion kommt also das Ergebnis 0 heraus. Das bedeutet, dass es keinen Restwert gibt.
7. Ergebnis der Polynomdivision sind die 3 Glieder (x²+x-2)

Faktorisieren bei der Polynomdivision hört sich am Anfang schwieriger an, als es ist. Wenn man mit einer guten Erklärung ein paar Übungsaufgaben rechnet und diese auch auf ihre Richtigkeit überprüfen kann, ist das Prinzip recht einfach zu durchschauen. Und dann steht auch einer guten Note in der nächsten Mathematikarbeit nichts im Wege.