Exponentialfunktion: Ableitung per Differenzenquotient - so geht's

Vorbemerkung: Meist wird die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x mittels ihrer Umkehrfunktion, dem natürlichen Logarithmus, bestimmt. Hier jedoch soll es einmal "ganz zu Fuß" über den Grenzwert des Differenzenquotienten geschehen.

Der Differenzenquotient hat als Grenzwert die Ableitung

1. Der Differenzenquotient einer beliebigen Funktion f(x) kann in der Form [f(x + h) - f(x)]/h dargestellt werden. Geht die Hilfsgröße "h" gegen Null, so erhält man aus dem Differenzenquotienten als Grenzwert die Ableitung f'(x) der Funktion.
2. Für die Exponentialfunktion f(x) = e^x ergibt sich hiermit folgender Differenzenquotient: [e^x+h - e^x]/h, den Sie weiter umformen können zu [e^x_*e^h - e^x]/h = e^x _* [e^h - 1]/h.
3. Die Ableitung f'(x) der Exponentialfunktion erhalten Sie, indem Sie den Grenzwert dieses Ausdrucks für "h" gegen Null bilden. Wie unten gezeigt, gilt: [e^h - 1]/h geht gegen den Wert "1", sodass f'(x) = e^x wird. Die Ableitung der Exponentialfunktion stimmt also mit der ursprünglichen Funktion überein.

Exponentialfunktion - näher untersucht

Beim Grenzübergang für die Berechnung der Ableitung wurde ausgenutzt, dass der Ausdruck [e^h - 1]/h den Grenzwert "1" hat, wenn die Hilfsgröße "h" gegen Null strebt. Aber warum ist das so?

• Die einfachste Methode, sich über das Verhalten von [e^h - 1]/h Klarheit zu verschaffen, ist es natürlich, mit dem Taschenrechner für immer kleinere Werte von "h" (zum Beispiel h = 1/100, h = 1/1000 etc.) diesen Ausdruck zu berechnen. Schnell zeigt sich, dass er sich tatsächlich der "1" annähert. Ein mathematischer Beweis ist dies jedoch nicht.
• Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Exponentialfunktion für kleine Argumente abzuschätzen. Es gilt nämlich e^h = 1 + h + h²/2.... Diese Reihenentwicklung kann man getrost nach 2 oder 3 Gliedern abbrechen, denn "h" soll ja klein sein. Setzt man diese Abschätzung in den Ausdruck [e^h - 1]/h ein, so erhält man [1 + h + h²/2 - 1]/h = [h + h²/2]/h = [1 + h/2], wenn man durch den Nenner kürzt. Dieser Ausdruck ist als Grenzwert tatsächlich "1" für h gegen Null.