Dreieck halbieren - so wird's gemacht

Dreieck halbieren - diese Aufgabe ist nicht eindeutig

Was soll man unter der Aufgabe "Halbieren Sie ein beliebiges Dreieck" eigentlich verstehen? Tatsächlich ergeben sich mehrere Interpretationsmöglichkeiten, von denen einige genannt werden sollen:

• Das (beliebige) Dreieck soll so halbiert werden, dass es in zwei gleichgroße Dreiecke zerfällt, sprich: die beiden Teildreiecke sollen die gleiche Fläche haben.
• Das (beliebige) Dreieck soll so halbiert werden, dass die beiden entstehenden geometrischen Flächen gleichgroß sind. Diese müssen jedoch nicht notwendigerweise Dreiecke sein.
• Es sollen die Seiten des Dreiecks halbiert werden. Dieser Fall ist leicht mit Zirkel und Lineal zu erledigen und soll nicht weiter beachtet werden.

Dreieck halbieren - zwei flächengleiche Dreiecke entstehen

• Diese Aufgabe lässt sich im gleichseitigen sowie im gleichschenkligen Dreieck relativ leicht lösen. Sie konstruieren im gleichseitigen Dreieck die Mittelsenkrechte auf eine beliebige Seite und im gleichschenkligen Dreieck die Mittelsenkrechte auf der Grundseite. Sie teilt das Dreieck in zwei gleichgroße, klappsymmetrische Dreiecke.
• Wie jedoch kann man ein allgemeines, sprich beliebiges Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke zerlegen? Auch diese Aufgabe können Sie leicht bewältigen, Sie müssen lediglich eine Seitenhalbierende zeichnen. Hierzu verbinden Sie den Mittelpunkt einer Seite mit der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks.
• Die beiden entstehenden Dreiecke sind tatsächlich gleich groß. Ohne größeren mathematischen Beweis kann man dies prüfen, indem man ein Dreieck aus dickerer Pappe auf diese Art teilt und die beiden Dreiecke wiegt.
• Da es im Dreieck zu jeder der drei Seiten eine Seitenhalbierende gibt, ist die Aufgabe natürlich nicht eindeutig. Es sind genaugenommen drei Halbierungen möglich.

Das Dreieck in zwei unterschiedliche Flächen halbieren - so geht's

Am einfachsten ist es, Sie zerlegen das beliebige Dreieck in ein Trapez und ein Dreieck. Diese beiden Figuren sollen flächengleich sein.

• Zunächst müssen Sie für diese Aufgabe den Schwerpunkt des Dreiecks finden.
• Dazu konstruieren bzw. zeichnen Sie die drei sog. Seitenhalbierenden des Dreiecks. Dabei handelt es sich, wie oben bereits beschrieben, um die Verbindung zwischen dem Mittelpunkt einer Dreiecksseite und dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks. Diese drei Linien treffen sich in jedem (!) Dreieck in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Daher werden sie auch Schwerlinien genannt. (Falls dies bei Ihrem Dreieck nicht zutrifft, liegt ein Zeichenfehler oder eine Ungeauigkeit beim Zeichnen vor).
• Das Dreieck halbieren Sie nun folgendermaßen: Zeichnen Sie durch diesen Schwerpunkt eine Parallele zu einer der Seiten des Dreiecks. Diese Parallele teilt das Dreieck in zwei Hälften, es entsteht ein Trapez und ein flächengleiches Dreieck.