Fallunterscheidung bei Ungleichungen - so wird's gemacht

Bruchungleichungen - so funktioniert's

Bei einer Bruchungleichung haben Sie sowohl im Nenner als auch im Zähler des Bruches Terme mit der Unbekannten x stehen. Als Beispiel soll die Bruchungleichung (x + 3)/(x - 2) < 0 gelöst werden:

1. Wie Ihnen bekannt ist, wird ein Bruch in zwei Fällen negativ. Im ersten Fall ist der Zähler negativ und der Nenner positiv (- durch + ergibt -). Im zweiten Fall liegt die Umkehrung vor (+ durch - ergibt -). Diese Fallunterscheidung müssen Sie bei Ihrer Rechnung durchführen. 
2. Für den ersten Fall haben Sie die beiden Ungleichungen x + 3 < 0 und x - 2 > 0 zu bearbeiten. Aus den Ungleichungen erhalten Sie die Lösungen x < -3 und x > 2. Allerdings gibt es keine Zahl, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, sodass der erste Fall Ihrer Ungleichung zu keiner Lösung führt.
3. Für den zweiten Fall erhalten Sie die beiden Ungleichungen x + 3 > 0 und x - 2 < 0. Sie berechnen x > -3 sowie x > 2. Lösungen sind in diesem Fall alle Zahlen zwischen -3 und 2.

Als Lösung der Bruchungleichung haben Sie also -3 < x < 2.

So lösen Sie Betragsungleichungen mit Fallunterscheidung

In solchen Ungleichungen kommen Terme mit der Unbekannten x als Betrag vor. Die Fallunterscheidung ergibt sich, wenn das "Innenleben" des Betrages negativ oder positiv wird. Als Beispiel sei die Betragsungleichung |x| - x > 0 gegeben:

1. Der Betrag | | ordnet jeder Zahl x immer ihren positiven Wert zu, egal, welches Vorzeichen die Unbekannte x hat. So gilt |-1| = 1 und auch |1| = 1. Als Fallunterscheidung für das Beispiel erhalten Sie x > 0 sowie x < 0.
2. Für x > 0 können Sie die Betragsstriche einfach weglassen und die Ungleichung auflösen. Sie erhalten x - x > 0 und hieraus 0 > 0. Diese Ungleichung hat keine Lösung.
3. Für x < 0 ersetzen Sie |x| = -x. Um diese Vorgehensweise zu verdeutlichen, setzen Sie einfach x = -3 ein und Sie sehen, dass |-3| = - (-3) = 3 ist. Sie erhalten die Ungleichung -x - x > 0. Sie errechnen -2x > 0 und hieraus x < 0 als Lösung. Beachten Sie, dass sich das Ungleichheitszeichen beim Teilen durch (-2) umdreht. Alle negativen Zahlen sind also Lösung dieser Betragsungleichung, wie man durch eine einfache Probe feststellen kann. Diese Lösung passt auch zur Fallunterscheidung (x < 0), welche Sie immer überprüfen müssen. 

Als Lösung haben Sie also x < 0.